Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

III. Mde. 3 N~. 6. THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,

6. On a: - a2 Sin. ax. Sin.. x dx =.a Sin.b x. Cos. ax - a Cos. ax. b Sinb- x. Cos. x dx =
a Sin. x. Cos.ax-bSin.ax. Sin. —x.Cos.x+bJ Sin.ax. (b-I)Sin.b-2X. Cos.x.Cos.x dx-Sin.- x.Sin.dx}
- aSin.6. Cos.ax-b Sin.ax.Sin.6- x. Cos.x-bf Sin ax.dx((b-1)Sin.b x(b-1) Sib-2 SSij'X};
done: axSn d aCos.ax.Sin.bx-bSin.ax.Si.b-lx.Cos.x (b-1) in. a
b -b. a2 b 2 -- ax.
De la mgme maniere on trouve:
Si, aCos. ax. Cos x b Sin. ax. Cos.6-' x.Sin.x b (b-I ) A
b2 — a2 b2 ja
f 077 -aSin. ax. Sin. x-b Cos.axSn. Sin.5-1 a. Cos.x b (b -1) f
Cos. ax. Sin..6-2 xdx
fjos.S. — a iasb2_ a2 b 2-2 jC'i'
f Co.- aSin. a os. b Cos s.ax Cos.d-1 x.Sin.x b (b- 1) f
Cos. ax. Cos.6 x dx -— _- + b- a Cos. ax. Cos.b-2 xdx.
b2 -a2 2 -a2 j
L'integration entre les limites 0 et - fait evanouir partiellement les termes integres, puisque
<
Cos. - 0, mais au contraire Sin. - 1, done:
2 2
X S.a.Sn x a Cos. a Tr b (b - l ) 2in.a.i.b2c *(
2 Sin. ax. Sin. x dx d o + ( ) 2Sin. ax.Sin.b2xdx.. (a)
b2 _ a b -a
o o
f2Cos. ax. in.xdx - Cos.ax.Sin.b2xdx,,.... (c)
0b2 -a2 '2 2 2
o o

j 2Cos. ax. Cos.6 x dx =
o

b(b- 1)I
0 + b —)- 2 Cos, ax. Cos.b-2 dx..... (d)
o

A l'exception de la derniere toutes ces formules de reduction donnent lieu en general a des series
assez compliquees, puisqu'il s'y trouve encore des termes hors des signes d'integration; mais les
resultats deviendront beaucoup plus simples, lorsqu'on assemble ces termes: cela se peut en effet,
quand on pose a impair dans (a) et a pair dans (c), mais la, formule (b) ne s'y prete pas. Dans
ces cas speciaux on trouve a l'aide de Meth N. 21, pour b pair en premier lieu:
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