Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

III. Mde. 5. N~. 2 THORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,

d'apres M6th. 1, form. (38). Pour q = 1, voyez T. 21, N~. 3. Ensuite:
f x2b-2dx x2b —1 - a. 2 qx dx 2b i f xd
(2b l)Jz(p+q X2)a (p + qX2)a 1-J (p +qx2)a+I (p+qx 2)qa a (P.p + 2)('tdone, pourvu que a > b:
w x~2b dx 2b- V1 r 62db x p1/2 i r d
(p + x2)a+ 2aq J (p + qx2)a (a-b + 1)6/1 (2 q)b (p+ qx2)a-b+l
'o 0
ou, lorsqu'on substitue lintegrale (222):
J x2b dx bI 2 la-bl2 7C
— a>b;...... (2 2 3), a)b;....... (223)
J (p -t q.)a+-4- 1Ia/ 2a+1 qb pa-b pq p
xg -1 ts - ss P f +- zg- ) g
g- dx xf -i-q cxc-I dx ___- fp- -
J(p q xc)l (p qxc) J (p+qc)+ (=P J (p —qqxc) qXc)h (p +qxc)hlJ
done, puisque le terme integre s'evanouit pour x==0 e encore toujours pour x = c, pourvu que
g < c, on trouve:
xs-1 dx c1i-g Xg-I dx (__cq)t/c 1 g-Ild (C-g)l/C I I p\c P.
F I.. p,,._
(p+qc+l C Pl (, Iq l )/ — - (cp)- p+-qC lph/ (Cp) p \q c
o o o 0 C
a l'aide de la formule (201).
On a [26]:
i- Xac+g-l dx paga- aI aa (ac-c+g)al/ c 1 f,Sg-i dx
~I _____ = _a + -- -l_.
J (p+qxc)+ qa o pn(p+q c)b-n bal/- (cq)aJ (p_+q c) I- a+l
Ici le premier terme, oh a sous la sommation est un produit de coefficients d'un binome,
s'6vanouit pour la valeur zero de x. Lorsque x devient infini, le plus grand terme sous la
sommation est celui qui correspond a la valeur a- de n, et qui par suite a pour denominateur
(p +- q c)b-a+i, oI le degre devient > 1 d'apres la supposition b + 1 >a: done la plus grande
1l. *"Gxg
valeur de la fraction est p+:x' mais dans ce cas encore le terme correspondant p + q x
p + q x P + 1 X
sgevanouit pour x = oo,lorsque g < c. Ilorsque cela arrive pour ce terme maximum, il va sans
dire que les autres termes, a ddnominateur d'un plus haut degre, seront nuls a plus forte raison:
et encore que les coefficiens constants, que nous avons omis dans la discussion, ne changent en
rien le resultat, Donc:
J (p+q-qxc)+i ba/-i (cq)a J (p+qXc)6-a+l lb/i cp Pq -aqa gb
C
par la substitution de la derniere integrale (224).
[26] MINDING, Sammlung von Integraltafeln, Abth. I, Taf. 49.
Page 236.

i<e,(~:2 4),g<c,(225)