Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

Till. de 3. 02. THIEORIE, PROPRIIITES, FORMULES DE TRANSFORIATION,

f xP-1 dx xP f -a dx xp {xp-1 dx xP-I dx
On a: p I --- -- p -- a -a
J(l + )a ( +x)a ( +)a+i ( +x ++ J +x)a ( +xa+
d P-dz OxP a-p xP-1 dx
/(l+-x)a+l a(]. +X)a ' a 6(+)'
Or, pour les limites 0 et oc, le terme integre s"'vanouit, pouvu que 0 p < a; car pour
p<O 0 on aurait [xP]f c, et pour p a on aurait =; donc:
XO ]- '-X)a x- oo
^ _P-i dx- a-p x00 -1 dx (a-p)aj-l 00 xp dx (1-p)all r
j (+ )a~ I a / (1 +x)Ma Ital —1 1-xa 1la/ Si,. P7T
o o o
apres la substitution de la derniere integrale, que l'on trouvera Me'th. 22, N0. 12; ou, comme
esultat identique avee celui da N0. 2, mais dispose autrement. L'integration entre les limites 0 et 1 fait
disparaltre la fonction differentiee au premier membre; done:
f1 c _ _p+qa f1 qp p+qa p+qa —q p+qa-f2q
XP — (]- dql)a-l dx - xP+q-1 (1-xq)a-1 dx_.. *.t p j fp p- +q P — 2 q
o o
X p+nq-l (1 -- q)a-1 dx.
o
De cette formule de reduction EULER (-) fait l'application ingenieuse suivante. II remarque qu'on a tout
de meme:
s.+5 s+-g2q
l olsu (o — f e9)a-i d 8 -__s qa s +- a }q sq 2 (1 a,a- I.
Or, lorsqu'on fait diverger n vers l'infini, les deux facteurs xp+nq-1 et xs-nq-1 deviendrout sensiblement
Tgaux: done les deux integrales dans les seconds membres des deux dernieres equations finiront par devenir identiquement egales. Dans ce cas les produits de facteurs 6quidifferents acquerront en meme temps
un nombre infini de termes, et la comparaison des deux equations en question donne enfin:
s(p —qa) (s+q)(p+qa4-q) (s-r-2q)(p+qa+ q). fl
| xP — (1-~-q)a —1 dx =- ' ----L7 —......." -r^TIL ^ L r i)\^ r i -r ^ ^ ^ ^ j ^^ q_^ r_-,XJ (l )a p(s+qa) (p-+q)(s.qa+q) (p- 2q)(s+qa+2 q ) J
o -
'Pour s - q on a:
'f1 _I --- 1 1 1
xq-1 (1 - xq)c1z- dx d. (1 - q) a —, (T. 1, N0. 24,); done:
q a q a
0 o
1 J (p + qa) (p+ q a +q) 3(p + at 2q),VP-1 (I -xq)a-I dx == -- a.....(:)
(I Jqna dx qa p(a+l) (p+q)(a+2) (p+2q) ) (a+ 3)
o
Pour a =- et pour q == on trouve respectivement T. 10, N0. I et T. 1, N~. 11.
(*) EULER, Institutiones Calculi Integralis, Vol. primum, Sect. I, Cap. 9, ~ 360.
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