Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. 111. Md. 2, 3. N. 9, 1, 2.

tout comme dans le N~. 2 nous l'a donre le calcul ordinaire. Aussi pourra-t-on en general s'y
borner, et ne regarder cette observation que comme une elucidation du procedeo ordinaire. [23].
~ 3. METHODE 3. PAR LES FORMULES DE REDUCTION D'INTEGRALES INDPFINIES.
1. I1 arrive souvent, qu'a l'aide de l'integration par parties ou de quelque autre maniere,
on parvient a r6eduire quelque integrale indefinie a un termne deja integre et a une autre integrale,
qui est plus simple pour avoir par exemple un nume'rateur ou un denomninateur d'un moindre degre:
c'est sur ce raisonnement que reposent l'arrangement et le calcul des tables ordinaires d'integrales
indefinies: il peut nous venir en aide aussi pour les integrales definies. Car lorsqu'on integre une
telle formule de reduction entre deux limites definies, il se peut en premier lieu que le terme integr'
s'evanouisse entre ces limites: alors la repetition du meme proc6de donnera lieu a un produit de
fractions, dont les numerateurs et les denominateurs seront en general des facteurs equidiff6rents;
par consequent co produit peut etre exprime par des facultes numeriques, ou par les fonctions Gamma.
MAais en second lieu il peut arriver aussi que le terme integre ne s'evanouisse pas entre les limites
de l'integration, mais se reduise a une valeur determine'e: alors on obtiendra, par la repetition du
meme procede, une serie, aupres des termes de laquelle les facultes numeriques joueront un role
principal. Enfin il se peut encore, que le mnme terme int6gre devienne indetermino ou meme
infini entre les limites de l'integration: des-lors cette me'thode ne sert plus a rien. Dans tous les
cas, il faut absolument examiner si le terme integre devient discontinu entre les limites de
l'integrationl: car dces-lors on doit y ajouter une correction correspondante qui sera repr6sentee par
une integrale singulire, d'apres ce qui a ete observe dans la Premiere Partie.
2. Fonctions rationnelles algebriques. On a:
cl.x,(l-xq)a:=n,vP-ldx({p(l —cq)a-qa(l-xlla-',)xl = —)xP- ldx t(p+qa)(l-x-q)a-q(l- sq)a-1};
done,- puisque la fonction differentiee s'e'vanouit pour x = 0 et pour x 1 - pour un a entier:
o0 0 0
qa la/l qa ].a/l
p (r + q) 1(/ p+. 20),
d'apres la valeur de l'integrale, feth. 1, N'. 2. [24].
[23] Suivant la regle de PLANA cette integrale aurait une valeur imaginaire: et ce re'sultat, fautif en
soi-meme, demontre en meme temps que la regle mentionnee ine saurait valoir.
[24] On aurait aussi:
d. xP (1 - x)a (1 - xq)a-l dx {p xP-1 - (p + qa) xP-q-1},

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