Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

III. Mld. 2. N~ 2, 5. TiEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMITION,

Pour le cas de c- + q on a:
[-q +' dx 1.t pour celui de x-q:
A __ _ - {Q(X2)-_I(_)2} 0 de mierre.
x —
DoIne toujours:
J-r d c 1[. 1 \ r+q
f+ - l -- 1 + r2 > 2..~.... (202)
j xiq 2, \-r ql r q >'jq
-r
Lorsque q- 0, on trouve e de mime:
[acdo 1
q = (lq2 I- I(_- p)2} -A,
-p
puisque la discontinuite a lieu ici pour la valeur zero de x, on trouveo
fctdx 1 dc dx _ q Pdx
~a =._.=I { 1(S -2), —)2} =0, done: —. -, (203), -=. (T. 35, No. 15),
-rjd 2 ~ -p -p
dx dx 1 I q 2
3. De l'int'grale - 2 On a: - = i - C; done elle devient disq2_ xq O a q \x -- q
rcontinue pour x - i q. Lorsqu'on integrl dle e0 a a, il n'y a que la valeur + q de x, que I'onl
ait a considerer; des-lors:
CO d 1 ( 2 t,+ d 1 r (2 &2 ( d2
- -i —2tI= q2 2 - q ___
t q-@
dx
l =0, done: - - 0. (T. 19, N~.. 4)[20
o
[20] Cette integrale a donne lieu a bien des difficultes et a des observations contradictoires. Quelques-uns,
comrme PolssoN, Journal de l'Ecole Polytechnique, Cah. 18, p. 295; CISA DE Grsy, M'moires de Turin,
821, p. 209; PLANA, Journal von Crelle, Bd. 17, S. 1; trouvent pour sa valeurb I (- 1); ils ont ete conduits, ce resultat parce qu'ils ont pris d = ly et non = — y2; or, tant que y reste positif, ces valeurs
coincident, mais ceci n'a plus liet lorsque y devient negatif; alois, d'apres'ee que ]'on a vu Methode 1,
N0. 2, il faut employer la seconde fonction, et non la premiere, qui ici nous donnerait a tort ine valeur
imaginaire. —D'autres, comme AnNDT, Grunert's Archiv, Bd. 10, S. 240, la supposent arbitraire, i cause de la
discontinuite de la fonction inte'gree potur la valeur q de x: mais on a vu dans le texte que la correctionl
A pour ce cas de discontinuite s'annule ici, de sorte que cette indctermination n'a pas lieu dans ce cas.
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