Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

III. Mde. 1 N~. 31, 32. THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,

-p+q+r -q-+r, etp+q-r. On a des-lors(p+q)(p+r)(q+r)=(p+ r)( pq+qr+pr)-pqr-,
y (y2 - ) — j m (eu egard a llavaleur de (pq+q-r+pr) trouve6 ci-dessus), et done:
J dx. y _T d. x dx __ y2 k _
x( 2) y-(y2-k)-2svm in'] x(X2) y(y2 k)-2sn/m' j y (y2-k) — Vmn 2'
(T. 26, N0. 13-15), ou y est la plus grande racine de (y2 - k)2 - 8y/ m 41.
Dans le cas particulier de k== —3, m l, on a X(x2)-==(1+2)3 et y4-6y2-Sy-=-3=
= (y-3)(y —1)3a, oil y=3 la plus grande racine, done:
df d. Tr 2 dx v 7r X4 dx 3w
1 ( + 2)3 16 J (1 +X2)3 1j' J (16 + 2)3 16' (T., N. )
o0 0
32. Voyons enfin comment quclquefois des fonctions plus compliquees se soumettent a notre
methode d'evaluation.
Soit I= - - j - (1 -+- ( )2 x,-1 dx.
Soitn I '(l+pl l )U.
0
Posons xP 1 x = y, d'out (p xP-l lvx - Xp-') dx = (1 -+ px1 ) xP-1 dx' = dy: alors
I t1 + ( ) } j d. _ d. 1 lX
Pour les deux limites de x, la fonction devient indetermineoe: done il faut y appliquer les regles
usuelles dans ces cas.
Ix x 1 lx
Pour x 1: x P -x"P I ----x= p-1 - 1. Pour x= 0
1 —x -- 1 — x -P
1
1 x 1 -xP x
- _ 0 — O, donc:
1 — — px-P-l 1-x p
t lt+ — 1"-Z - )ixlndx:= — 1. (T. 153, N'. 21).
Jol 1 —x ( —Xx)2/
Soit; /~i 1 \x dx f0 ddx dx e-^xd r 00. 7 7 /. 7
Soit fex ~e -fl {i- -- -fd } =f {d. 1..l (1+xv)-e-xd.l1}=
f (1+z ) Z J l^ 1 } ) 3
1 q- x x J 1 - x J
{d. l d.e l (- x ) e-xl d.
0gq-x
Or, la derniere integrale est la constante - A du Togarithine integral, (Voyez Metth. 12, N0. 3)
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