Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET MIETHODES D'EVALUATION DES INTEGRALEs DEFINIES. III. de.. 50 5O 1

imaginaires, alors on peut reduire cette integrale a la sonme clde pinsicurs inte'grales partielles, ayant
pour numerateurs les diviseurs correspondants de Z (x2); c'est-A-dire:
fcP (x2) F [ dx f dx dv
]y(X2) A,A 2 + P2 + B 1 2 + C 1 r2 2
0 0 0 0
o-u A, B, C,... sont les coefficients, produits par la reduction en fractions partielles, et dependant
de p, q, r,... et des coefficiens de la fonction rp (x2). Par l'intermediaire de l'integrale au 1N~. 3
on trouve:
dx -- + - - -
I X(x) 2 p q r
0
Suivant les raisonnements precedents cette fonction doit etre une fonction symetrique de p, q, r,.
lorsqu'on 1'aura reduite 'a une seule fraction: done elle pent etre considere et calculee comrnm
une fonction de y == p -j- q -- r -... Par consequent la combinaison des fonctions symetriques, p ' p q,... avec les coefficiens de la fonction Z (x2) donnera lieu une a utre equation
f(y) = 0. Puisque ' present y recoit d'autres valeurs, lorsqu'on prend p, ou q, on r,... negatif,
et que d'un autre cote les relations entre les coefficients de Z (x2), qui ne dependent que de
p2, q2, r2,... ne seront point affectees par un tel changement, et que par suite lequation f(y) = 0
reste la meme, - il s'ensuit naturellement, que ces diverses valeurs de! sont les racines de cette
deniiere equation. Et puisque y = p + q + r --... est la plus grande de ces racines, c'est elle
qu'il faut employer aupres du calcul de notre integrale. Renmarquons encore quef (y) sera e0 general
d'un degre plus eleve que X (r).
31. Cornme application soit Z%(2) = -+kx"-l- +2l2 — m (z2 -+p2) (X'2 - q2(9 2( -2+r2). Alors:
Jf 9Q <r, i r dx I r +dx 1 0_i _ dx
f 1___ 1 + 1 p-q —r
p(p 2)(p r - q(2_ p2)(2 -_r2) (r2 -p2)( q ) 2 p(p +)(p- )
0 0
et de raegme:
x 2 dx X _____1 ___v_ n.f00^ pq + gr + rp Tr
J (x~) -- (P-+}q)-}(P + q- N + ' x J ) (P-+ -) (P +.(q + r);
toutes fonctions symetriques de p, q et r, comme il a ete annonce. Pour avoir l'equation en y,
supposons y == p + q + ra En outre nous savons que p2q2 -2 - ==k, p2 q22 + 2 r2 - 1,
p2 q2 r2 2==m. Eliminons entre ces quatre equations les quantites p, q5 r, nous trouvons:
4 = 4 (9 + qr +pr)2 - S p qr (p + -r) - ={(p + q + r) - (p2 + q2 + r2)}2 -
- 8pqr(p 4 ) - (y 2 - k) 2 - sy qn,
pour 1e'quation, qui aura pour racines p "- q + r, (la plus grande, dont nous aurons besoin),
Pa ge 225. 29*