Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

Il d. Mla e..N. N299,30. THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,

Lorsque au contraire b est impair = 2 d 1, on a z = (- b-1).= d —, 2 z-b + 1 = 0
Sin. ((2 z + 1) y} = Sin. {(2 I —a )} CSin. ((a + 1) 7r = O de sorte qne dans le
dernier numerateur de (p) les trois termes s'evanouissent separemnent et qu'on a:
Tb2 ( xadx b
-2b] J~ + x -dx 2b ' b impair,
2 n] 1 +-b 2 Sil. y
o
la merme que pour b pair. Done toujours, en prenant a-1 pour a:
C O -l dx
D'r = -d -,a a< b; (T. 20, N~. 1).
J 1 + xb a-
o b Sin.
b
Le raisonnement precedent se fonde entierement sur la supposition. que a et b soient entiers:
neanmoins il est facile a present d'etendre la formule au cas ou cette condition n'a plus lieu.
Supposons xc = y, on a: csC-l dx Q dy, avec 0 et oo pour limites de y; prenons en outre a -=pc,
b = qc, et nous trouvons:
J 'v'P-1 dx c n w
- --- p < q.
l 1 + ==. pr. pr
o qc Sin.- qSn.q q
Cette formule, identique avec la precedente, vaut a present pour toute valeur, entiore, fractionnaire et meme irrationnelle de p et q, puisque la valeur de c est tont-'-fait arbitraire, et peut
etre irrationnelle [17].
a
f0xP-1 dx w nf00 -ldx 1/ p
Exercices. I -P S,p<; (T. 18,N.2), f ---, -... a<b;.(20J)
-- x Simn. pr jr p+ qtx bp\q a
o o Sin. --
b
30. C'est ici le lieu de ientionner une observation de POISSON [18] regardant le cas, oui la
valeur d'une integrale definie ne dlepend que des racines d'une certaine equation et du nombre r.
Ceci a lieu lorsque la fonction -' integrer eptre les limites 0 et co est une fraction rationnelle,
dont le denominateur ne contient que des puissances paires de x.: des-lors aussi dans le numerateur
on ne rencontrera que des puissances paires de x, parce que autrement la supposition x y re'duirait le degre du denominateur et du nunmerateur a la moitie. Soient aupres d'une telle integrale
qp ( —I dx2
j (x2)
_p 2 - i2 -y2^.. les racines de l'dquation (xt2) 0, o l q, q, r peuvent etre reels ou
[17] On trouvera d'autres deductions de cette inte'grale Meth. 22, N0. 12, Meth. 27, N0. 3 et
AMeth. 38, N~. 4.
[18] POISSON, Journal de Liouville, T. 2, p. 224.
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