Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

I1. No. 8, 9.

T11EORIE, PROPR1ETES, FORMIULES DE TRANSFORMATION,

(x) d+ f ( dx= {fc) -f(a)} + ((b)- (c)} =/(b)-f/(a) =f f ()d.. (s)
a c a
Maintenant supposons que cette valeur c de x soit celle, pour laquelle la fonction / (c) devient
discontinue. Alors dans la premiere integrale du premier membre ii faut changer la limite supe'rieure
en c —p e, et dans la seconde integrale la limite inf6rieure en c + q:' ot l'on entend par u une
quantite, qui a zero pour limite, de sorte que pour cette limite meme les deux limites changees de
l'integrale redeviennent toutes deux la primitive c. On obtient ainsi l'equation:
r7 rC-pj f b
()d x f() dx + (f')dx,.......... (9)
a a c-+q
Lim. E -- 0................ (9*)
Lorsque apres l'integration effectuee on fait converger la quantite ~ vers zero, cette operation produit
le meme resultat, que lFon obtiendrait en approchant le point de discontinuite des deux cotes, en
le serrant de plus en plus, et en excluant pourtant le point lui-mime; tout comnme si, dans Fig. 1,
on faisait approcher les deux ordonnees U u et v V v' indefiniment de fordonnee de discontinuit6
ou de lasymptote S OS'.
fb
9. Ce que l'on obtient d'apres la formule (9), f (x) dx =-f(b) -f(c + q ) - +f(c -p ~) - fa),
a
est nommee par CAICHY sa valeur generale. Lorsqu'on y prend p 1 -= q, on obtient la valeur
principale de l'int6grale d6finie a fonction discontinue.
Mais on pent ecrire lPequation (9) d'une antre maniere, c'est a dire en employant la transformation, que nous apprend la formule (8); car on obtient alors, en considerant chaque integrale
au second membre de (9) comme une difference de deux autres:
f } (x) dx (x) - dx + /' () dx f(c) -f (a) d + (b) - (c) -
a aa c - c c
[C fc-}- rc}qz
- f'()dx- - f (:)d c=f()-f f'(a) (x ()f(.... (10)
c-ps c -ps
= ds Lis............
c-ps
Cette correction A dans le cas de discontinuite de la fonction pour une certaine valeur c de ',
qui doit se trouver entre les limites a et b de l'integration, - est ce que CavcHY appelle une
intgrale singuliere, qu'il reduit souvent, a raison de ce qui a ete dit precedemment, a sa valeur
principale en prenant p =-q = 1. [3].
[3] Les int'grales singalieres, dont CAUCHY a fait beaucoup de cas, ont dte introduites par lui dans
l'analyse dans un Mnemoire du 22 Aot 1814, publi6 dans les Memoires presentes a l'Acad. de Paris,
Page 6.