Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'E'VALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. III. Mjde. 1. N~. 28.

f-D E
f(.) =Axm '1 x + -1 -k-...+-{- C -+ - +., et 'integration nous donnera une valeur infinie,
x/: X2
ai moits que les coefficiens A, B,... C, 1) ne s'annulent, c'est-a-dire a moins que mn le soit =- 2 tout
au plus; done, si le degre de qp(x) est n', et celui de X (x) est n' -+ m',m' doit etre plus grand que 2.
En second lieu la fonction Z (x) ne doit pas avoir des racines positives aupres de l'integration entre les limites 0 et co, car alors le facteur x-p p. e. la rendrait discontinue: et par la
mrnme raison, il ne se peut pas qu'elle ait des racines negatives, lorsqu'on integre de- co a c,.
Encore suppose-t-on qu'il n'y ait pas des racines multiples, puisque alors la decomposition a1 mentionner
ne serait plus valable. I1 s'ensuit des-lors, que la fonction Z (x) peut se diviser dans des facteurs
de la forme: x2 + qx + r2, et a present, sous les conditions precedentes, on peut reduire suivant
des regles connues la fonction f(.,) a nne somme de fractions partielles, a denominateur de la
forme x2 +-t q -,r2 et a numerateur de la forme Qx +- R,
fQ(xL) _-................... )
x q + 9 - 'r
oli ii faut que l'on ait ZQ = 0, afia que oe degre du denlominateur surpass celui du nume'rateur
au moins de deux unites, comme on a di le supposer. On a par suite:
-{,(,- +,-+ ).+. I { d1 2}....1... 1l
pourra done le mettre hors du signe de sommation, comme etant toujours de la meme valeur;
mais il reste alors comme facteur Z Q, qui est zero dnapres la supposition; tionc Je terme s'evanouit pour la limite c de x. Encore pour cette mnme limite l'Arctg. devient Arctg. c, ==.
Done nous trouvons pour l'integrale entre 0 -et cm
Jf (x) d2 — 'vQlr4 {i Y j — A rt -
ffIxdoJ -+'Qr4 + / (r2 q2) Arctg. ( ( q))
~->, ^ +(~ — ~q 2)..... (
-- 2QlJr 2+2 y iI2 —Q- A ( (tq...... (
Lorsquon veut integrer de - oo a +- o 7, le logarithme devient egal pour ces deux limites:
done la sommation correspondante s'evanouit: on aurait pu considerer que ce terme s'gevanouit de
mome pour la limite inferieure - oo de x tout comme pour la limite superieure + oo de x.
Quant a 'Arctg. dans la seconde sommation, il devient + - pour la limite - oc de x, et —
pour la lirite inf6rieure - o. done la difference en est nr et l'on a:
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