Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET MItTILODES DI1 VALIUATI101 DES INTIGRALES DEFINIES. II. 4 1. N 0. 2 "", 2 6.

2 5. Exercices.
~1 xdx I __ _ ___ _ 2
I ~~~~ 2 ~1(02- r) + -(1;Arctg. (I~,p<1 (T. 7, No. I11),
==2w,7, (T. 3 0, No. 1 5), (pour la premiere il faut conside~rer la racine x V~3,
J1~x —ovL7-3 + x 2
-00
1+X2 1+ IVf 1
et pour la secondew= T 3)J 1+x+~ dx 7z wV2~ k194I))= 1+2+ dx, (1 95),
J1+x2+x4 ~dx=- 7U /2,.16,dx 7=:w (T. 25 No. 1 6),
I1~~x2+xiIdx = j; (T. 2 N" 19 dxe. (T. 31, N". 1 9).
01
26 1I se peut encore que l'inte'grale inde'finie change de forme, selon. que x a unle valeur
infe'rieure ou supe'rieure 'a une certaine limite. Alors il faut diviser la distance des limites en deux
parties, donit 1'nne fin~it 'a cette limnite et dont 1'autre y commence, et pour lesquelles vaut respectivernent la valeur qui est propre 'a la valeur correspondante de x. Lorsque 'a present la valeur de
P'into'grale de~finie ne devient pas discontinue pour la dite limite intermediaire de x, la somme,
des deuix int'grales partielles sera la valeur de 1'inte'grale cherche'e. On acquiert toujours dans ces
cas un terme imagwinaire, puisque en general la fonction. sons le signe d'integration devient imaginaire d'un, c~5te ou d'autre'de la limite. Supposons, par exemple, que nous ayons 1'into'grale inde'flnie:
J f(v) dx =q p(x),(x <a),= (x), x (a<a);.(e)...
et que nous, devions calculer l'into'grale d6finie:f1& ) dx, oi' c <a Kb, onl au rait: f 1(x) dx ff(x) dx + f f(x) dx.()
Lorsqne 'a present la fonction. f (x) nie devient pas discontinue pour la valeur a de x, il faut
employer dans la premiere integrale, qui se trouve au second membre de (f), Ia premie're valeur
cp (x) de l'inte'grale ind6tinie (e), qui vaut entre ces limites de x: dans la seconde integrale au
contraire il. faut faire usage de la seconde valeur x (x) daus (e), puisque celle-ci vaut seule entre.ces liruites de x; de sorte que:
Jf(a) dx == po(a) - (p(c) + X(b) —.(a). (g)
C
Mais en general, lorsque la fonction. no devient pas discontinue entre les limites c et b de x,, il
faudra, quo Pon ait (p (a) == X (a); par consequent:
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