Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

II. M. 1. N~. 24. THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,
Pour p = r= 1 on a:
- 1+2...Tr.(
/e 1 - a qx" It x"dx (1891
1 + 2 q X2 + 4 d = Sin. { Arccos. (- q)} * * ** *
-- 00
Pour q = t - cette derniere donne, puisque Arccos. — + -) - =-,
2 \ J
A }2n ^T,Sin. A,cs. -
Arccos. Sin. Arccos. -.- =. 1/
(2; 3 d 1 2 1+2
J 12 4 + 12
|00-+ + 1,1+-2 2 -1+- 1 '
-0 co o 0
[Dans la derniere integrale prenez x d'ou d, avec les liaites correspondantes 1 et a: pour
Lor, elle devient egalae l la pre'ddente; done enfin:
1-(Jr- 1 +- 2 x+2 q-x d,4 1 1 — 2 q1 2 -xd.
0 —0 0
DansOr, ici la dernis de discontinuitrale prenez x et = 1 ne tobent pas entre les limes pour
'i, elle devation. Ogal troue don toutprden done enfin:
f~1+x2 1/ 2Sin-cp V w
I - d 1 Arctg. 2 1 Arctg - --... (191)
Jo1+2qx+ 2z.i c+ \ 1 + 4Si.p
I dx == 4 d *..(193)
-0JJ 112X j+X-1
-cso 0
Or, ici les cas de discontinuit pour x == 0 et x = — I ne tombent pas entre les limiensites de
dx ---— ^==Arctg. —.- Arctg. O:.. (191)
1+-2qx2 +qxI, 2. Sin. ~p\o 1 - 1 4 Sin. cp
00 1 +J xQ
dx. (192)
d'apres ce qu'on a obtenu plus haut. Done ensuite:
-xxin: a ~'0............. (i 9 8 )
e (. Ptout ir l e C S. - q
et enfin lintgrale (189) Partout ici on a pour lauxiliaire Cos.2 = -q
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