Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

LI NTIIODES W1'VALUNTLON DES INTEGRALES DE'FLNLES.

I. 1. N~. 7, 8.

7., Comme des considerations do geonmetrie peuvent eftre d'une grande utilit6 ou donnor des
notions claires et pro'cises, n~ous allons voir comment cules interpr~tent los raisonnements precedents;
clles nous indiqueront en mekne temps l'influence, quo dolt avoir ici la discontinuit6' do la fonction,
iute'gre'e. A cet eflot, rotournons 'a la formule (t) et prenons pour / (x) l'aire do queique courbo,
pour des coordounnees rectangulairos, et comprise entre la courbe, l'axe des abseisses xr et deux
ordonne'es' quelconques y: quand ou fait augmenter l'aire d'une quantite6 tre's-petite, le nume'rateur
do la formule cit~e' sora un trapoze, oi'l lun des cate's est courbe, et le cote oppose' la partie do
l'axo dos abseisses dx: en passaut aux limites ce trapehzo dovient un. rectangle et J' (x) ni'ost par
consequont autre chose quo l'ordolnn'e. Maintenant (Fig. 1) soit pour une ordon-neo arbitrairo
Mm n, l'aire MA amnz (a) + C, et l'airo M Ll1m ~(b) + 0:11 viont A Lla f(b) -~)
Mfais lorsqu'on fait croltro Pabscisse depuis x — a au point A, jusquos "' x h_ au point L, ot qul'~
chaque aecroissement on 6rigo 1'ordonnee, clle obtiendra des valeurs P1 (x), ol 1'on dolt pre-ndre pour
x touates los valeurs successives: une telle ordonue'e, D d, multipli~e' par l'accroissemont do x mine'diatoment precedent C iD, exprime Paire d'un rectangle C D d y, et la sommo do tons ces n- rectangles
dilfhrera peu do 1'aire do la courbe, et finira par coYncider avec elle, lorsque le noinbre ni des parties do la distance A L devient infini, et quo par suite chaque partie C ID converge vers zero. Eli
d'autres mots, nommant O B== x I, OC== X21 OP a... on aura:
A.Ll1a=-Lim. {(x 'a) f (x1)+(X2 — XI)Jf'Q2)+ (X3- X2) f'X3) +.}
et la comparaison do ces vaelurs trouve'es pour l'aire A Ll1a ramnie 'a 1e'quatiou (5), la defluition
do lPinto'grale de'finie.
Mais lorsque entro los poitits p et q ou p et q' la courbe a des branches infinies, ou. qu.'elle
y est discontinue, le raisonnement precedent u'est plus exact, car dans co cas il y a un. des roofaiugles 'a sommer, qui obtient une, bauteur infinie 0OS ou 0OS', et dont l'aire est par consequent
infinie ou du momns inde'terminc'e. 11 faut done passer "a l'examen do ce cas do discontinuit6' [2].
8. A cot effet observons en premier lieu, qu'une iutegrale deffiuie entre los limites a et 6 pout
aftre divise'e 'a la valour c do, x (sitiniea ontro; a et 6) dans deux autres inte'grales de'flnies entre los
limites a 'a c et c 'a b respectivement, car i1 est identiquemeut:
bestimnites Iutegraif,linte'grale do formule (6)) et une inte'grale Mfllie ge'nerale (allogemein-bestimnmtes
Integral f 1 linte~grale de formule (7)) est inutile, puisque la d~erniZere n1'existe qu'autanit qu'elle, coincide
-avec la premie're. DEeHER *) en pense autremnent, pnisqu'il regarde l'expression (7) comme la d6flnition
veritable do l'inte'grale; d~finio. Cette definition (7) est la primitive, comme clle a 6te' introduite liar EULER:
l'autre (6) an contraire est cello de CAUCOHY-f)
[2] VYoeZ IRAABE, Journal you Crelle, BW. 20. S. 173-1-U.
*) Dcmun, Handbuch der rationnellen Mechanik. Augsburg, Rieger. 1857. 811. Bd. L. Einleituulg. ~42. S& 1o7'
CA (UiCHY, Journal do ITEcole Polytechnique, Call. 19, p, 510o. Post-script. p. 190,
Page 5.