Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METIIODES D'EVALUXTION DES INTEGRALES DEFINIES. II. Md 1. N,. 16.

2 dx
]p —gCos. +-2Sin.w q-1-(q2"-r) p= + -l/(q2 +r2);... (118)
JP + q Cos.x+ r Sin. $ q + + V (q + r2) ) P
2
yq+r - V(q2 +r2)9 P — i( 2 + r2)
Jais cette derniere ne vaut que pour un r negatif, puisque autrement pour x == la fonctiolln
integrer deviendrait discontinue; car alors le denominateur - V (q2 + r2) +- Cos. +- r Sin. I
serait zero. Des-lors on a:
2f - _2].dx1].. (119)
(Q 2 -in. x q r ( r
f2 dx
I. --- —--------- C-.X _ c= o....... *...... (120)
- / (q2 + r2) + q Co4. + r Sinx. (
0
2
Pour l'int6gration de 0 ' xr, on a: Tg. {- ( - )} T- Tg(- l^) = Si,
et Tang. {(7- )} Tg. (- )= 1-,- done:
pr + r 2 Arctg.( (p2 q2 r ) p2>q2 2, r>0; (123)
j p-qCos.x-t rSin. (1 J r22) \ 2 r2 /
2 t A (2- 2P- -Arctg. V —2 -- )} 2>q22+r2 r<0;. (24)
1p r1 -( -W,) (q2 + r2 -p2)1
2
=-, = p f -(q2 +r2),r>; (126), = oo, p =- ~ (q2 r2),r<0. (127)
Quant a la difference entre les valeurs (123) et (124), elle vient de ce qu'on trouve r pour le
denominateur sous le signe Arctg,; done son argument devient positif et negatif avec r. Quant a la
valeur (127), i s'ensuit de l'integrale (120) qu'elle est infinie pour V/ (q2 + r2) n6gatif, mais ici la
[12] Prenez r negatif dans (118); et combinez ce resultat avec l'integrale (118) par voie d'addition
et de soustraction, vous aurez:
w. 7W
r2 qCos. x-rSin. x q-r d 2
Sin. x+ -,... ( ), --.. (122)
3 (q~inCc ~rco~)2d q Qr JJ(qSin.x + r Cos. x)2 q
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