Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

1. 1. N. 5, 6. THEIORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,
if (i xLm{ [ f (~a)+ 2fl (a+ l,)+8Jf(a+ I+82,)+.. + anf+^ -], ( 4)
'b-a = 18 + 2 +...+, Lim. a = 0.
On pent encore transformer cette expression dans une autre, qnelquefois plus commode. Or, les
quantits a, a + (, a + 4 + 2'-,...a + 6, + - 2 +... + 6n-1 sont les valeurs que x obtient
successivement, en variant dde la limite a r l'autre b: iommons ces valeurs successives de x.: x,
x, x d.o..,, Oi done xo == a, xn- =b, il vient 1 = a - Z', 2 -2= -'1... -=1 Xn- xn-l,
et l'equation aura la forme:
jf (x)dx-==Lim.[(i —x )/'(X o) +-(2 -- j )/f(l )+ -. +(n-a- )f/'(x1 )],Lim.(xp-xp_1)=-0. (5)
*,0
6. De quelque maniare que Pon exprilne Pintegrale definie, les equations precedentes nous donnent:
b
f '() dx f (b) -f (a)................. (6)
a
mais seulement dans le cas, que f (x) soit continue entre les limites a et b.
Maintenant l'equation fondamentale (t) du Nr. 2 peut s'ecrire: df(x) -f (Ic) d, qui donne
par l'operation inverse:
f (x) = ff (x) dx, ou plutot = (f ) d — C,
pour l'integrale indefinie. I1 est lnecessaire d'ajouter ici une constante C, puisque la differentiation
de cette derniere 6quation, si nous voulons retourner a l'e'quation precedente, elimine cette constante. On ne peut pas trouver directement cette intdgrale, ni la constante, comme resolution du
probleme pose de determiner f(x) a l'aie de dJ (x.: mais si nous prenons ici successivement a et b
pour x, la difference des resultats donne:
rx=b r x-a B x= b fx-b
f(b) - (a) = /'(f)dx-c- f'( —)d - -J f (x)d — (C - C) J '(x dc (7)
X —a x=na
equation qui nous montre comment d'une integrale indefinie on peut passer a une autre, qui a la
forme d'une integrale definie, mais olu nous n'avons point pris en consideration la continuite ou la
discontinuite de f () entre les limites a et b de x. La comparaison des formules (7) et (6) nous
montre en effet, que dans le cas de continuite les deux expressions s'accordent entre elles: mais
dans la suite nous verrons que cet accord ni'existe plus dans le cas de discontinuite; en effet alors
la formule (7) n'a plus aucun sens [1].
[1] 11 s'ensuit dela que la distinction d'OriM *) entre une integrale definie numelrique (nunrerisch*) OI-I, System der Mathematik, Theil 8. Die Lehre der endlichen Differenzen und Summen, und der reellen
Faktoriellen und Fakultaten, so wie die Theorie der bestimmten Integrale. (Nurnberg. Korn. 1851, XXVI et 390 S,
8o.) S. 247. fgg.
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