Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

III. Mde. I. No. 9. THEORIE, PROPR1ETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,

de sorte que la formule precedente (T. 36, N~. 2) vaut encore pour un p imaginaire, pourvu qu'alors
la partie reelle soit positive.
On a encore:
eqxidx. - q d. eqxi -(ebqi — eaqi),.................. (65
q( iq
a
-a
d'o th, eqxi &V (eaq e-aSi) Sin. a,......6)
et exd (6 7)
et | qxd - - (e2i 1),.................. (67)
0
0, pour q entier............... (68)
Lorsque dans l'integrale indefinioe e-(p —qi)x on prend q negatif, et qu'alors on ajoute ou soustrait
les resultats, on pourra exprimer les expolentielles imaginaires en Sinus et en Cosinus: cela nous donne:
~~~~__r pCos.qx-qSin.q r pSin.q+q Cos.qx+
ePx -Cos. q dv z= -- p Cos. x - q in., Sin.q-P p in. qx q- q Cos. qp2 +_q2 ' p2 - q2
formules, qui nous donneraient aussi les integrales de la derniere note. A present nous les integrerons de -r o; alors il est evident que pour la limite superieure de x la valeur s'annule,
puisque le facteur e-Px - e —o est zero et que l'autre, quoique indetermine, reste toujours fini
et meme toujours plus petit que p + q done il ne reste que la valeur pour la limite 2 de x:
f~~0~ Xn I eP -pSin. qc -- q Cos.- qT
e-x Sin. qx dx ePS e-P. q (69)
2
e-PxCos.qxd. e-~Pp Cos. q r -- qSin.- qr(7
fePx Cos, qx d P2+ 2
2
et la separation des parties reelles et des parties imaginaires nous fait trouver:
p e-Px Sin. q x dx -- q
je-PCosqp2d- 2 + e-PSi.qd (T. 278, N~. 9 et 8).
0 o
On dleduira ces memies integrales Meth. 4, N~. 11, sans 1intermediaire toujours 6pineux des imaginaires
Page 202,.