Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'EVALUATION DES INTEGIRALES DEFIN1ES. III. M. I. N~. 9,

tePx dx = - (eP -e) 1= (eP — )............. (6l)
[ pP
ePx dx - (e - -............... (62)
P P
-GO
Pour p = 1 les formules (61) et (62) deviennent: T. 41, N~. 6 et N~. 21.
e-Px dx =- - e-0 - e-~) - -(0-1) = - (T. 36, N~. 2).
j ~ ~~P ~P P
o
' qPX
Encore l'integrale plus generate qpx d — -- C donne
pl q
Iib-di= qP —!p- I
o
1 -- - 1 -1
JPx dx (qp go) (T. 41, N0. 5),
j qpxd = (_(o _ -GO) -,- q (<6), =, >1;.. I. (s64)
p q plq
0
puisque q9 est infini, lorsque q est plus grand que l'unite, tandis que pour une valeur inferieure
qg s'evanouit. En general p ne peut changer de signe dans ces reductions, sans que la validite
du resultat s'altere. Lorsque p devient imaginaire, on a encore:
fe —()+'i) dx e-(P+qi)x +C = -- 2e-Px(Cos.q x - i Sin. q x) C
J P+q i p' +-2. —e —PX
--- (p Cos. qx — q Sin. q x) —i (p Sin. q x + q Cos. q )} + C
en y substituant la valeur de l'exponentielle imaginaire (C. P. 24). Done:
<Greoo e e-0
e-(P+qi)xdx - (. - - + Cos. o - i q Cos. 0}.
JfO ~p +92 P P2 +' P +q 2
Or, la fonction e-~ est zero, tandis que son coefficient (...) qui ne depend que de Sinus et de Cosinus
ne saurait devenir infini: par suite ce terme s'evanouit; dans l'autre terme e-0 et Cos. 0 sont tous
deux 6gaux ' l'unite; done enfin:
e-(p-i)x = -o-+ — (p-qi), (T. 36, N. 6), [8]
o
[8] L'evaluation des fonctions imaginaires donne:
GO p-qi
e —Px (Cos. q - Sin. q x) dx p — qi
po + q2 '

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