Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. III. M 1. N0. 5, 6.

f + z 2=~. 2,T Si- (T. 25, N~.3)J l xx d =[5]. (T. 5, N~. 2).
J 1 + Cos.x+ 2 3),Sn. 1 —,2xCos.aX-+X2 S- in. I
Cette discussion fait voir qu'il faut etre prudent dans la reduction des Arctg.; on aurait pu garder
l'expression generale d'Arctg. ((x)), pour arriver aux memes resultats.
f dx dx
6. De lintdgrale Y_. On a w(q2 2) = Arcsin.(( - C; done:
j^(? ~ ~ 2/ 2 - 2 d 2e2)
P (2 x2) = Arcsin. ) -Arcsin. ((O)) 3= fr + ( 1) ArcsinJ -}
0
- {r +( — )rArcsi.0} =0 ( 1)r Arcsin.-= Arcsin.p-, q>p;.... (19)
q q
puisque l'integrale, oii la fonction integree reste toujours positive entre les limites, a elle-meme une
valeur positive (P. 1, N~. 12): (pour q 1. T. 34, N~. 5). Done on voit que le r arbitraire
s'elimine du resultat: oln en deduit:
dxI
IJ V (2 -2 Aresin.-, q >1; [6] (2.0):o (q _ x2. = ~ ah"O,2-x )
0
( 2 - 2) - 2, (T. 34, N'. 6), ] (I1 2),=;, (T. 12, N0. 10).
Pour q < oIn a: f-J(i-2 ) 7Arcsin. )q-C, done 'a ]'aide de (C. P. 10):
7( ~ - ) f — ' T Arcsin.(( I)-A-rcsn.(-( \ = _ (2r +- r iP+ ( -. +)
J^V(^2 -?p2 ) i\ 2j q f q <
I q q1-l(1 — 2) P-t-l(pa2 - -q)
- 2r+ —) rr-l + - )} _ — 1 ((1 2; * q<1<P. *.. -(21)
Ir 3/ o, - P2)
[5] Elle se verifie comme la somme des integrales (14) et (17). - OiM, Die Auswerthungs-Methoden
bestimmter Integrale, (System der Mathematik, IXter Theil), Niirnberg. Korn. 1852, XII et 437 S. 8~., la trouve
(S. 13) egale a - -, puisqu'il prend Arctg. (-;) -—. Par ce qui a ete dit au N~. 12 de la Premiere
Sin. A
Partie il est encore evident que ce resultat est fautif. Car 1-2 xCos. - +x2 est toujours > 1-2 x -x2,
done >(1-x)2, done positif: or, une telle integrale, ou la fonction integree reste constamment positive
entre les limites de l'integration, doit necessairement avoir une valeur positive, d'apres le theoreme cite.
[6J Au moyen des substitutions x2 = l-y2 et q2 - 1 -+p2 on en deduit:
j i/(1_y2) /{ l+p2_-(1iy2)} j / (p2 + X2)(1 X2) (1+ Arccot.
1 0
(T. 16, N0. 6).
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