Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

III. Mde. 1. No. 5. THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,

et
b2p2+b2q2_(p2 +2)2 +2/[ {2bp2 +b22_(p2 q22 2+4462p2(p2 fq2) 2
Arctg. y == Arctg. 2bp(p2
~ 2bp(p2 - q2)
P:: S bp (p2 _} qa)
- Awct _2p2_-bbq2 +(p2+2)2 +/[ {b2p2+b2q2_(p2+q2)2 } 2+4b2p2(p2 +2)2]j
i p2 q_ qZ
done, dans le cas de b== co, la seconde valeur du logarithme devient- I + = 0, et la premiere
4 p2 +-q
valeur de l'Arctg. est Arctg. (~ cc) - -; par consequent:
bp b q —.b Q \ 7r
P2-+ q2 P2 +
A rctg. bp ----— i- rr~::- - + 0.
i (q2 +' q2)2
Pour a ou b = 0 au contraire, la premiere valeur du logarithme est 1 (P- = 0, et la
4 (p2 +q2)2
seconde valeur de l'Arctg. devient Arctg. - Arctg. O 0, done:
A,.|4- + ~ (p -- 2 q))
P (P
Arc1t. (:~ ap 4 4 -1 X ~+ o+
Par suite on trouve:
DI - dz _ ^ =: nr _,f (T. 19, N9. 18),
j ( p+qi )2+- 2 (- p — i) 2(P qi)
cc qui revient a dire, que dans T. 19, N~. 2 (voyez plus haut), q pout etre imaginaire. Mais
la derniere formule, comme toutes celles qui renferment des imaginaires, correspond a deux autres,
car la partie r6elle de l'integrale doit etre egale ' la partie reelle de la valeur, tandis qu'a la
partie imaginaire de l'integrale correspond la partie imaginaire de la valeur. On trouve donlc
lorsqu'on rend les denominateurs reels:
o +x2+p2-q2 z2pqi -pqi don 2 —]-+p-q
J x4-2(p2 -— q2)x2+(p_2)2 Z(p2+q2) ' 44+-(p2_2)x2 ) (p2+2 2)2
0
O o
7U p [%J (rG ____ 2 p q dv T r q
-- w _PI (T1. 25-, N. 2 1), d2 )
2 2+ ' f x4-2 (p2_q2)Xz4_(p2+q2)2 2 22) p2_q
0
Co dx w 1
f________o _^_____:__~(T. 25, N~. P 2 (6)
UV ] (p2 -q2)X2 +(p2 +q2)2 4p
0
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