Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET NETLIODES WEYVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. I.055

I. 1. No. 5-5.

pas en general dans la somme mentionn~eo des premiers membres. Excinons done cc cas pour le
moment, nous trouvonis pour le cas de continuit6' seulement:
f~a~~1+ ~2+..+~Y~)-f6t = '(a) + a9f (a~+ 6)+. f(a +,~+ ~..+~ n
A pre'sent supposons qepi Pon ait a + 6 + 2 +. + n == b, une quantit6' constante: de's-Iors on
peut assigner la valeur de in- somme des produits 61 p car soit c- la pins grande et ~P la pins petite parmi toutes les valeurs de,, on aura:
par la substitution de b-a: or celle-ci est constante, et l'on pent diminuer les valeurs des -- et
par suite celle de, kg et de ~Ep indegfiniment, en en augmentant le nombre: done les deux qnantite',
qu~i enclaveut le terme du milieu,1 convergent avec vers zgro, et cc terine, par consequent, devient,
aussi zero pour la limite ze'ro de 6. On a done enfin:
avec -in condition b-a ~= + ~ -..+6n;...(1*).... W
et ainsi noes avolis de'duit de la fonction f (x) la diff~rence / (b)- f (a): clle n1'est plus un'Ie
itt'grnle inde'finie j(x), mais elle est tirtt~grale difinie de, la foiection f'(x.
4. Mais cc re'sultat pent preedre une forme plus caracte'ristique. En effet prenonis tous les
I 62 gaux "a (1, de sorte que 1lX'quatioil (1) devient:
Le second inembre de cette equation est unec somme de termes 6f (x), oit x augmente uniforinoment depuis a jusques 'a 6: or, de'notons ~,comme in diffdrence de x, par- Ax, alors cette somme,
b
aern la forine Le~n. 2 1() elle exprime unie sonmmation d'une suite de n termes 'a facteer
a
x: mais coMnie 6 doit converger vers sa linite zero Onl pent le renpiacer par in notatior-_
busuelle dans cc cas, d x, la differentielle de x: de's-lors le -nombre n des termes, qui est suivant (1*,), devient infini, et les terines eux-midmes deviennent infinmment petits 'a raison du facteur
dx, qui converge vers zero: il. est d'usage dans un tel. cas de remplacer le signe de somniation:F
par le sig-ne d'into'grntion fet l'on pent 6cerire:
equation identique, ii est vrai, mais dont le premier membre offre unec notation pins simple, de,
l'Rintegraie dgflinie: on dit alors, que la fonction f' (x) est inte'gre' entre les lirnites a et b.
5. La comparaison des equations (1) et (2) indique, quc l'6gnlit6' on. linegalit6' des divers d,
qni tons convergent vers zero, n'influcncc pas sur' ic re'sultat: et puis cule eons apprend qu'nu l Ie-"U
de in formule (3) on pent 6crire:
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