Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

UT METHODES DALAUJATION DES INTEGRALES DEFINIES. II.M. I N". I1,2.

SECTION PREMIERE.
ME'THODES DIRtECTES.
~.MITHODE 1. DEDUCTION D]3'INTJiGRALRS INDIIPINJES,
It. DaDS la Promie're Partie on a trouv6' la formule (6):
(f ( )dx F F(b)- F(a), oi' f dWFx = fx.............. (a)
J ~~~~~~dx
a
Elle donno lieu 'a une, me'thode directe de6valuation, mais, seulement dans le cas pou frequeut, oii
l'into'gralo, inde'finie est COnnUe: encore Celle-ci est suppos6e continue entre, les limites do lVint&
gration. En g6ne'ral cetto, m6thode no donne pas lieu 'a des observations, sauf los cas, oit F (x)
appartient 'a une classo do fonctions, qui out uno valour multiple. Car on general la valour do, la
fonction inte'gr~e, et par suite colic do l'inte'grale d6finie, sera comple'toment de'termnin~e'; donc le,
second membro do le'quation (ci) doit 6tre determin6' aussi, ot il faut abs'olumont do queique manie'ro
lui O'ter son caracte're do ge'ne'ralit6', qui no lui convient pas. Souvent cc caracte"re so perdra comme
-do soi-me'me: queiquefois il faudra avoir recours a qucique artifice; on no manquera pas d'en trouver
des exemples dans la suite.
Mais il so pent aussi quo f (x) soit elle-me'mo une do ces fonctions 'a valour multiple: alors
il faut exprimor le re'sultat do telle manie're, qu'a" chaque valour do la fonction inte'gre'e correspondo
une valour determin~e' da-ns le second mombre do e'6quation (a).
11 va sans dire quo premiri'rement il faut toujours prendre la meine des valeurs multiples dans
los fonctions F (x), F (a) et F (b). Comme ensuite
dx =p.).b
il. Pout arriver do deux cho~ses l'une: ou la quantite' inde'termine'e (r), qui caracte'rise los, valours
multiples, no so trouve plus dans le coefficient difierentiel; et alors on pout prendro qucique valour
do r 'a -volont6'; - ou cette quantite' so trouve encore dans cc coefficient, et alors cette e~quation
(b) doit servir 'a determiner la valour on los valours, qu'il est pormis d'employor. Et comino ccci
vaut do memo, soit quo cette quantite' r so trouve ou nonl dans la fonction f (X), on pourra encore
faire usage do cotte methode dans l'observation precedento.
2. De l'inte'grale ]xP dx. On a: ]xP dx xP+1 dx + C.
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