Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHTODES D'EVALUATION DES 1NTEGRALES DEFINIES.

III. No. 2, 3.

-- (2r-,)-y -il {-+ v( - 1)}, — <x< —l;.... (11)
Arccos. ((x)) = 2 r~r: Arccos. x, - 1<.< 1;................ (12)
- 2r7 + il ({ - +/(x2- l)}, 1 < <c;........... (13)
= (2r+ )+i{ —+V/( - -l)}, - c< < - 1;... (14)
Arctang. ( x)) =r r +- Arctang. x.,................... (15)
Arccot. ((x)) r + Arccot........................ (16)
3. En second lieu observons que ces resultats sont intimement lies aux valeurs que ces
memes fonctions regoivent pour des arguments imaginaires, et meme que l'etude de ce dernier cas
conduit aux resultats dej't notes. Mais dans les transformations il arrive frequemment que nous
aurons besoin des valeurs memes pour des arguments imaginaires, et a cet efet nous les ferons
suivre ici. Les observations et les notations du N'. precedent valent ici, et l'on pourrait citer
aussi les memes auteurs. L'equation fondamentale est:
x+yi — (Cos.cp+iSin.cp) - eei + V (x- 2 -t, 2 ), Tg.rp =-, os.(p=-,Sin.cp =, -7r<, <r;. (1 7)
X Q Q
par suite: (v -ty i)q = q (Cos.qcp + iSin.q )................... (18)
'A~ (,x-y i)-q + (x-t y i) —q C.os q cp Cos. Cp. os.q cp
d'ou:,.........(19)
2 Qq Xq
(x- y i)- - (x +- y i)q Siln. q cp Sin. q cp. Cos.q (p
=i ~=Q^ ~ ^,......'.. ~o)
2i Qq q(20)
((-P + y i)) (eY (Cos, a *p + i Sin. q r>) ((1)j'q = Q [ Cos 2q r 7'rf + rp) + i Sin.{ (2 r 7r + rc)}] )) * ( 1)
((- + i)))? =- (Cos. q cp + iSin. q cf) ((1)) = oq [Cos {q 2 r 7+rc)} +-i Sin. {q ( r n +p),. (21)
((y i)) - yq eqi,..................... (23)
ex+Yi ex (Cos. y + i Sin. y),.................... (24)
eyi -= Cos. y + iSin.y,................... (25)
e2rTi - 1.......... 1 (26)
e(2)+l)i - 1,......................... (27)
l(+ yi) = e +cpi,...................... (8)
l(yi) ri+ly,....................... (29)
I(( - yi)) - - r Q + cpi,...... (30)
l((- + yi)) - (2r - l) ri +- l+ (4-i,.......... (31)
((y i))=(2 r - -) i Iy,................... (32)
Sin. (x + y i) = (eY + e-Y) Sin. x -+ - i (eY e-) Cos.,.. (33)
Sin. (y i) =- i (eY —e-Y),................ (34)
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