Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

Ill. N%. i 2.

THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,

Deuxieme Pintegrale definie, dont on se proposait de chercher la valeur, est reduite ' une autre
fonction de ce genre: lorsque la valeur de celle-ci est connue d'une maniere quelconque, on a
atteinit le but propose; mais lorsque cette valeur n'est pas connue, on a obtenu une relation entre
deux intgerales, et ces relations souvent ne manquent pas d'utilite. Encore se peut-il que l'integrale, a laquelle on est conduit par la reduction, soit de tant d'importance, qu'elle constitue une
transcendante particuliere; et alors il y a aussi evaluation, pourvu qu'elle soit une de ces transcendantes, dont les valeurs sont deposees dans des tables calculees: mais il n'y a encore que peu de
ces fonctions, qui se rejouissellt d'une etude particuliere et profonde. Ce qui a ete observe ici a
l'egard des integrales definies, auxquelles on est ramene, vaut de nmeme des integrales doubles et
des series, qui se trouveront d'apres les methodes des autres Sections.
2. Mais avant de passer a l'etude de ces dififrentes methodes il faut que nous fassions preceder deux remarques.
La premiere concerne les valeurs multiples de certaines fonctions; et c'est ici surtout qu'il
faut diriger l'attention sur ces fonctions, puisque en general elles ne se trouvent que dans la valeur
d'une integrale definie, et qu'alors il faudra decider de la valeur qu'il faut attribuer a ces foictions, comme il sera plus amplement expose dans la Methode Prerniere. Contentons-nous ici de
donner les resultats des recherches relatives. On pourra consulter a se sujet: CAUCHY, Cours
d'Analyse Algebrique. Paris. Debure, 1821. Preliminaires. Chap. 1, 9. -- Le meme, Exercices de
Mathemnatiques. T. 1. Annue 1826, p. 1. - Le mneme, Le9ons sur le Calcul Difierentiel. - Le nime
Exercices d'Analyse. T. 1, 3 et 4. - Le meme, Journal de Liouville, T. 11, p. 313. - BJ6RLING,
Act. Stockh. 1845, 1847, 1852. - Le mLeme, Grunert's Archiv, Bd. 9, S. 383. -- Le mrne,
Grunert's Archiv, Bd. 1, S. 39. -,e ineme, Grunerts Archiv, Bd. 21. S. 1. - LAMArLE,
Journal de Liouville, T. 11, p. 129.
Soit r un nombre entier quelconque, positif ou n6gatif, zero non excepte; q une quantite
iinie reelle, positive ou inegative; ecrivons la valeur generale multiple' pour un r quelconque entre
de doubles crochets, d'apres la notation de CAUCHY, la valeur ordinaire entre des crochets simples,
ou d(onc r sera zero, alors on a:
((.:))9 = xg [Cos. 2 r q f + i Sin. 2 r q ]...................1)
((-x). = q[Cos. (2 r + 1) q]}{ + i Sin. t(2 r + 1)q r].......... (2)
((1 )) -- Cos. 2r q +- i Si.. 2 rqr r-= e'q.............. (3)
((- 1)) -= Cos. (2 r + i) q }r + i Sin. {(2 r + 1)q r] = e'-^+l),...... (4)
l((.r)) -= Ix -j 2r 7 i,............................. (5)
1(( —.)) -- z. +- (2 r+ 1)~ i,.-.......................... (6)
l((1))- 2r7ri....................(7...... (7)
l((- 1)) z(r -+l)ni,...(....................... (8)
A rcsin. ((x)) = r + (- 1)r A rcsi. x, -1 < w < 1;............... (9)
(r+ r;+il +-\/ ( 1\)}, 1 < <,;........ (10)
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