Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

PARTIE TROISIEME.

EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES.
CONSIDERATIONS PRELIMINAIRES.
1. Lorsqu'on veut 6valuer une integrale d6finie quelconque, c'est-a-dire en trouver la valeur,
soit soCus une forme finie, soit sous celle d'une serie, il faut s'adresser necessairement a la Partie
Premiere, oiu se trouvent exposes les principes de la theorie de ces fonctions. En effet on en
a deduit plusieurs methodes toutes plus ou moins indirectes, et entre lesquelles, eparses par-oi
et par-la, il n'existait aucune sorte de lien ni de consequence logique: quelquefois meme elles
semblaient etre en contradiction. On a deja eu differents exemples de ces methodes dans la
Partie Deuxieme, mais dans cette Partie-ci on va les reunir et tacher d'en faire en quelque sorte
un corps entier. II s'ensuit deja que le but et la methode de la Deuxieme et de la Troisieme Partie
different essentiellement: la, le but principal consistait dans les resultats, d'apres lesquels se reglait
la division, et lon n'avait pas besoin de faire attention 'a la methode, qui y avait conduit: ici au
contraire ce sont les methodes elles-mnmes, que nous avons a considerer, de telle sorte qu'elles
doivent r6gir la division, et que fon n'aura pas besoin de savoir quelle espece de resultat elles
produiront: or, il arlive souvent, que la memie rdethode donne lieu tantat a une expression finie,
tantot a Ulne serie, suivant les circonstances particulieres de chaque application speciale.
Pour obtenir quelque ordre dans ces methodes si differentes, et pour en donner un apercu
bieu ordonne, il fallait absolument les ranger sous des titres distincts. II m'a semble qu'oi
pourrait convenablement admettre les Sections suivantes: on y a rassemble les methodes,
Section 1, qui sont directes.,, 2, qui ramenent a des integrales defilnes,,/ 3, qui reduisent ' des integrales detinies doubles,
4, qui meIjent a des series.
/, 5, qui donnent lieu a des equations differentielles.
// 6, qui font deduire de nouveaux resultats d'integrales definies connues., 7, qui n'appartiennent pas proprement aux precedentes.
11 ne reste encore que les ienthodes, qui font evaluer une integrale definie par approximation:
nais comnme ces resultats ne sont pas des evaluations proprement dites, en ce qu'ils ne sont jamais
exacts, j'ai cru devoir les supprimer ici, d'autant plus que ces menthodes appartiennent plutot au
calcul des integrales indefinies.
Mais ces methodes ne donnent pas toujours des resultats finis: car par exemple dans la Section
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WI.S- EN NATUTLUK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL VIII.