Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

I. 1. No. 2 5..N072,5 TIJEORIE, PROPRIETE~S, FOR1AIULES DE TRAINSFORMATION,

~.NOTION ET PROPIRI~TE~S FONIDAMENTALES D'UNE INTE'GRALE DEFINIE.
2. La theorie des fonctions., comme ayant pour objet le changement des fo-nctions variables
de'pendantes, est basg'e, d'apre's ce que l'on sait, sur la formule fondamentale
f (x -F 6) -1f Gv)
1(x) Limn.,pour Lim. 6:- 0;.(t)....
qui exprime le coefficient difi~rentiel f' (x), comnie, le rapport ilimite entre, les cbangements de deux
variables f (x) et x, dont la dernie~re, est consider~e coniune variable inde'pendante et dont la preminire
an. contraire depend de celle-ci. Lorsque f (x) y est connue, cette formule fait trouver f' (xV), et
c' est-4a Pobjet du Calcul iDiffe'rentiel1: l'ope'ration inverse, de de'duire la J (x) de / x) est du ressort
du Calcul Int egral, do-ut la me'tbode est indirecte par la niature memoe de la formule precedente.
Mais quoiqu'il soit impossible de de'duire f (x) directement de j' (x), o-u alors f (x) serait l'inte'grale inde~finie de JI (x), on pent pourtant approcher de ce but par uine me'thode, qui donnera la
base de notre theorie.
3. On pent C'crire Ia forniule fondanientale de la manie're, suivante:
==jdoi (x)+,,ol f + ~))-f x= f(x)+. 4.)
oii E est suppose' otre uine quantit le, qui s'6'vanouit 'a la lirnite zero de 6. Prenons maintenant:
xi -a, a + ~ a +61 + ~.,. a+ ~ ~ ~ -2
6, 6,:3, tandis que les valeurs
enl suivent comime valeurs correspondantes: substituons ces valeurs respectives dans e'~quation(4)
nous aurons
J (a ~ 1) -f (a) 6,/(a) +F 61
L1-orsque maintenant la fonction f (x) est continue pour toutes ces valeurs depuis a jusques (,'Y
a + 61 +i- 2 +.. + 61, on, a tonjours J (a + 61, = f(a + 6p)), on, corume on Pexprime quelquefois f (a + 61 + 0) f (a ~ Q1, - 0): en cc cas, dans la somme des premiers meitmbres des
equations pr'ce'dentes, toutes les fonctions interme'diaires s'nnnullent entre elies, et il reste
fa+ 61 + 62 +..*+n). ---f (a). Mais quand la fonction f (x) est discontinue pour quelque,
valeur de x, situe'e entre ces limites, soit pour at +j 6,, on ni'a plus identiquemenet f(a + p) ==f(a+J-lp),.c'est-l"L-dire, d'apre's la deflnition de la discontinuite6, f (a + 6p aura une autre valeur, selon, qu'ou y
parvient par 1'augmentation de, 1argument, par exemnpie du cokte- de a, pour ainsi dire on)) 1 qu'oni
l'obtient pa-r la diminution de x en venant de a + 6, + 6, +... + 6n: done la difPerence de
f (a+ 6, - 0) et f (a+ 6p-+ O) aura une valeur finie ou infinie, main en tous cas cule ne s'evanouira
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