Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES.

II. IV. N'. 75.

La valeur de y -p doit de nouveau nous guider ici dans les discussions: car selon qu'elle est
negative, positive ou nulle, il y aura une autre valeur a substituer pour l'integrale definie a
reduire: mais ici le cas ou y est egal a p n'est pas reductible a ceux, ou y n'est pas egal a p:
par consequent, outre les cas du Numero precedent, il faudra encore distinguer ceux, oui p peut
devenir exactement egal a une valeur de y. Donc il ne faudra employer que la premiere valeur
des integrales citees, lorsque p est toujours plus grand qu'une valeur quelconque de y, c'est-"'
dire, lorsque p est plus grand que c, la valeur maximum de y. Au contraire il ne faudra faire
uwage que de la deuxieme valeur de ces integrales, lorsque y reste constamment plus grand que
p; alors p doit etre plus petit que a, la valeur minimum de y. Mais lorsque p est egal 'a c,
alors l'integration par rapport a y, qui contient la premiere valeur des integrales cite'es, ne saurait
atteindre la limite c, parce qu'alors cette valeur ne serait plus legale, mais devra s'arreter a la limite
c- ou c est une quantite, qui apres l'integration doit converger vers zero: mnais encore faut-il
ajouter alors une integrale singuliere de c - a c qui doit contenir la troisieme des valeurs de
l'integrale d6finie citee. De m6me lorsque p est egal a a, 1'integration par rapport a y, quand
on emploie la deuxieme valeur de ces integrales, ne doit commencer qu'a la limite a + -; tandis
qu'il faut employer la troisienme valeur dans une integrale singuliere de a aa + i, qui doit etre
ajoutee au resultat. Lorsque la valeur de p est situee entre les limites a et c de y, il faut diviser
la distance de a a c des limites par rapport a y dans trois parties de a a p, de p- '
p + c et de p +- a c: dans ces trois integrations, dont la deuxieme est une integration singuliere, il faut substituer la premiere, la troisieme et la deuxieme valeur des integrales definies citees
respectivement.
Ainsi l'on trouve les formules suivantes:
&Qx Cos.p x c,' dx J f(y) Sin. xy dy = - e-Pq (e-qY -- eqY)f (y) dy, p > c;....... (264)
0 a a
=- (ePq +j e-Pq) I e-qYf (y) dy, p < a;.... (265)
4 J
4,
a
=A eP f | (e-qY -- e) ) y - + e-2 f(y) dy e ( — -e esY) f (y) dy +
a C —.
'4' I e-Peq)(y)dy p- c;....... (266)
[~C n f~a+e ( C
(epq -p e-PQ) e-Yf (y) dy + - e-2Pq f(y) dy -= (epa + e-pq) e-qYf (y) dy+
4 Jq4 j 4 )
a-s a a
+ {e-2Pq — e(p —y) — -(p+y)q} f (y) dy, p = a;....... (267)
a
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