Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. II. IV. N0. 72.
~ qSin.px. Sin.yTx d r
P 2 c 9-la - e- Q (eY -- e-Yq), pour y < p,
0
7r
= -(elq - e-Pq) e-Yq, pour y > p,
- (1- e-2P), pour y = p.
11 faut done faire attention ici a la diff6rence p - y, car les valeurs de 'integrale employee seront
differentes, selon qu'elle est positive, negative ou nulle: mais on voit en meme temps que cette
derniere valeur se tire des deux autres, quand on y suppose que y et p soient egaux, de sorte que
celles-ci valent respectivement pour les valeurs de y <p, et de y>p. II faut done distingYuer
trois cas dans l'application aux formules (ao): 1~ p est toujours plus grand que y ou au plus y est
egal, c'est-a-dire > que sa plus grande valeur c; alors il faut faire usage de la formule premiere;
2 p est toujours plus petit que y, ou au moins n'est pas plus grand, c'est-a-dire que p est <
que sa plus petite valeur a; alors il faut employer la deuxieme valeur des integrales mentionnees;
3~ enfin la valeur de p est telle, que y devient tantot plus grand tantot plus petit que p, c'esth-dire, qu'on a a<p <c: alors on doit diviser l'integration a l'egard de y en deux parties, 'unue
de a a p, ou il faut faire usage de la premiere valeur des integrales, puisqu'on y a toujours y <,
et lautre de p a c, ou la deuxie'me valeur des memes inte'grales doit etre employee, puisqu'on y a
toujours y > p. Done:
("Os. p x dx
_ - +P,Id fI (y) Cos. x y d - -e-P- f (eqY + e-gY)f(y)dy, p>c....... (25T8)
q +- x 4( q
0 a a
-- - (epq+e-Py) J e-qyf(y)d, p <Y a ~ (259)
a
(P =i; (C
-4 e —Pq (e+y- e-qY)f( (y) dy + (eP + e -Pq) e-q()d = - (e + e -p) e )
a P a
-r4 J(e(y-P)q -e(P-Y)q)f(y)dy = (eP +e-P )-Yf (y)dy- (eqY-e-qY)f(p-y) dy,a< p<c;. (260)
4qj 4 Jq
a a I
J,, " X _ - f (y) Sin. y dy -- e-Pq J(e Y-e-gY)f(y)dy, p>c;......... (261
J 2 + X J 4q J
o a a
ef (eq -e-Pq) e-qyf y)dy, p< a;....... (262)
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