Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET MIVETIODES D'VALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. II. IV. N~. 70, 71.
objections, lorsqu'on nie voudrait pas employer la correction n6cessaire dans un tel cas. On peut aller
a l'encontre de ces objections en changeant la limite superieure de y l'infini en k, sauf d'examiner
plus tard si, les transformations faites, ce k pourrait devenir l'infini. Soit dorc:
[k r( ra k
I- dy fp e-PxY - q e-qxy) f (x) dx = f(x) dx (p e-pxY - q e-xY) dy
ra 1 e-pkrx I - e-qkx) [a e-qk - e-plkx
= x f(Zx ) P — d -p- -— q -jf( ) dx.
pax qx j x
O o
Au lieu de f(x), il est permis de mettre ici, suivant le, theoreme de MACLAURIN fIO) -+xf '(o),
oi 0 < 0 < 1; par la substitution de cette valeur on obtient:
[a e-qkx e-pkx (a e-qlcx e-px a
I-J f{O) +-4f'( x)}~ ---- Zdz( dx =f(0) (de-x (cx-e -Pk/x)f'() dx.. (552)
0 0
Lorsque inaintenant f (.r) et par conse'quent f' ( x) sont finies entre les limites 0 et a de x, - cc
qui est une condition necessaire pour que f(x) reste continue entre ces memes limites, comme il
faut le supposer dans l'integrale double en discussion, - alors, pour la limite oc de k la fonction
e-qkx-e-pkx disparait tout-a-fait, et avec elle toute l'integrale derniere de la formule (252). On
trouve des-lors:
rk (a ae-qkx - e-pkx
] dy / (pe-PxY-qe-r )Jf(x) dx =-f(0) | - dx, Lim. k _ c.
o0 o
Mais on trouve Partie III, Meth. 16, N0. 3, que la derniere integrale a pour valeur, lorsque k
diverge vers l'infini, I-. Done:
jdy f (pe-P-xY qe-qY)f (x) dr f(O) 1...... (253)
o 0
ol a est une quantite positive tout-a-fait arbitraire, c'est-a-dire 0 < a < c. On y a suppose
que f(x), aussi bien que f'(x), soit continue entre les limites 0 et a de l'integration. [73].
71. Au Numero 65 de cette Partie on a trouve la formule (242), qui devient par le changement de p en 2y et en 2 i/y successivement:
'2o Joe2no yfn
| e- (2 $Y) (y: (2 n) (O), eZ2 (2 /y) da = 1f Y (2n)(0);
e-Xc (2 x == 12 f- 1 (), e- x y) d = V
-Coo1 nlj o o o
— 00 — 00
ou l'on a suppose qu'on puisse developper qp(x) suivant le theoreme de MACL.URIN. On peut
[73] SCILOMILCH, Gmunert's Archiv, Bd. 11, S. 63.
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