Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

II. -IV. NO. 69,~ 70. NtHORIE, PROPI'RETtS, FORKIIILES BE TRANSFORMAXTION,

Jusqu'ici la valeur de 6 est conside'r6o comme e2itierement- arbitraire: voyons si, apre's les de'veloppements et les transformnatiom~ que notre formulo a de'j'a subis, ii y a lieu d'attendre quelquo
resultat d'fini pour la valeur 0 de 6. A priori on peat I'esp'rer, puisque l'on fait usage ici du
meme de'veloppement, qui. dans la Premi're Partie N0. 30 nous a conduit ' la correction' \ faire,
dans le cas de discontinuit6'. Or, puisque f' (x) doit 6tre finie entre les limites 0 et a de x, afin
quo la -fonction f (x) soit continue daus l'int6grale en question entre ces mernies limnites, - et ii
va sans dire que cela est suppose' taciternent dans, la discussion precedente, parce qu'autrement
l'int6grale deffinie, I n'aurait pas de valeur finie, - in valeur jf (ox) doit rester finie de ineline: ii
reste par suite 'a decider de la valeur que la funcetionl 6 1(6 2 + 2 ) acquiert pour la lirnite zero do 6.
Ello est toujours 0. 1 (X2) c'est-a'-dire zero, except6' dans le cas oui x est aussi ze'ro, car alors 1'expression mentionn~e' devient: 0. 1I0 = — 0. o, c'est4'C'-dire indeftermine'e; il. faut done en determniner la
valour de la manie're ordinairo:
1(62 + 2) __62 + X2 __
6-'1 - -2 62 + 2
O)r, la fraction devient 1'unit6' pour lvaurzode:latofcer6,dirninuant vers ~o
annonce done que la function6(2+ ) s'e'vanouit avec 6, rn'mo pour la valeur sp~eciale
zero de x.
Maintenant, passoiis 'a la limite zero de 6 dans la formule (250), alors dans la double integrale
I'int6gration par rapport 'a se fait entre los limites 0 et c.<-. D'uno autre part, an dernier membre
dle P1 Cquation 1'inte'grale d~flnie doit s'annuler, co~mine Al a e'te prouv6' pr'ce'demmnent, tandis quo le facteur
a 7
Arctg. ~ devient Arctg. oc onu- Par cons equent on a enfin:
20
fay 2 2 2f xdv -f (0) I 0 <a < cc [72]....... (251)
et ici la valour de, a est inde'termine'e et pent eftre tout-aussi bien lPinfini, vn quo cola n'intlue en
noen Sur la discussion pre'ce'donte. La condition, quo f(x), aussi bien quo f (x), est continue entre
los limites 0 et a do, x, eftait n60cessaire, comme on l'a vu.
70. La mn'mo m6L'hode pout s'appliquer 'a l'inte'grale double
00 0
La fonction into'gre'e resto continue et finie avec f (x) pour toutes los valeurs do x et do y entre
los limites do ces variables; mais pour la limite supe'rieure do y elle-me'me. e-PxI et e-qxY s'annulent tous deux; ainsi le cbaugement da-ns l'ordre des integrations pourrait donner lieu ici 1~' des
[72] SCllLb6ILCH, Gruinert's Arcbiv, Bd. 11, S. 63.
rage 1 70.