Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET MIETHODES D'VALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. II. IV. N0. 68, 69.
meine c'est essentiellement d'une maniere tres-indirecte, que l'on parvient i de tels resultats dans
le cours de la discussion a Ie"gard de quelque integrale double. Nous nous contenterons donc ici
de l'exposition de quelques-unes de ces reductions, ou 1'on pourra juger en meme temps de la
diversite des methodes, qui servent a les faire trouver.
69. Dans l'inte'grale double, tres-renomnmee a cause des discussions et des objections auxquelles
elle a donne lieu,
j~~ [a N2__2
dy jf( 1 +x) I /) dx,
0 0
il y a discontinuite dans le cas, oil x et y deviennent simultanement zero et seulement dans ce
cas; et l'on a vu (N~. 46, P. I) que dans une telle occasion il n'est pas permis d'invertir 'ordre
des integrations, sans qu'on ait egard a la correction qu'il faut y ajouter. Mais lorsqu'on effectue
l'integration par rapport a y entre les limites 8 et ao, ohu ~ peut avoir pour limite definitive une
quantit6 aussi petite que lon veut, cette difficulte disparait, vu que de's-lors le point de discontinuite
ne se trouve plus entre les limites de l'integration double. I est done permis d'ecrire:
I g / (y - + f )2 = /,. / J -(y2 +& 2= Y
6' 0 o 6'
o\i lordre des integrations est inverti maintenant. L'integrale par rapport a y peut etre evaluee
en premier lieu comme integrale indefinie. Car
J y2-x2 f 2+x2 f -d.y2 C dy 2f,(^+^z)2 y (2+^y) J - J-+x y/2++x2 ' -+x
(dy _ _ - -, I I
J / dy =J 2 -v y 2 t- J X' ay2 y 2 +,2
--
Celle-ci donne pour la limite superieure oo de y 0, et pour la limite inferieure S elle
oo 4- G-3
devient - 2, done:
2 + 2a ______
I =.f() d '. — 2'
0
Maintenant developpons la fonction f (x) suivant le thdoreme de MACLAURIN dans la somme
f(0) + xf' ' x), ou 0 < < 1; alors on trouvera successivement:
f(0) + ~ (x)} + {X2 o + =f() + + (0) + d. Arctg. - +
[a dX3 J 1d2+xC2 ji ~ 4d2~j~2 f+(olf
0 0 0 0
+ - f (O x) d. l ( 2+r) = f(0) tArctg.-Arctg.~} + 1 f 1 2d. + 1 2 ) (250)
o o
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WIS- EN -NATUUIK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL VIII,