Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

II. III. 5, IV. N'. 66-68. THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,
Dans ces deux Numeros nous avons seulement employe le theoreme (237) et celui qui y correspond (239). J'usage de la formule (238) menera aux memes resultats: c'est-a-dlre, que pour
p (q- + p ) au lieu de p (p x) on n'a qu'a prendre sous les sommations (-p(") (q) au lieu de
q(") (0).
67. Au commencement du paragraphe actuel, au Numero 48, nous nou s ions propos de
traiter d'une maniere generale la question du developpement en s6rie d'un facteur quelconque
d'une integrale definie generale: et nous pouvons regarder la discussion relative si-non epuisee, dclu
moins assez etendue pour y mettre fin. De plus nous avons obtenu dans les paragraphes et dans
]es chapitres precedents de cette Partie Deuxieme diverses autres mrethodes. Done on ne doit pas
s'toiiner si par ces imthodes si diflerentes il- nous arrive quelquefois de trouver les valeurs d'une
mhn e integrale dfinie evaluee sous diverses formes, par exemple sous celle d'une serie et celle
d'uu produit infini. L'identite necessaire de tels resultats donne encore lieu ' une nouvelle
nedthode derduction.
Par exemple, par le rapprochement des resultats de Meth. 3, N-. 9, et de Meth..22, N~. 3
de la Partie IIt, on deduit la relation suivante:
1 (- 1) a a /2a+1\ 2a+l-2n
(12Jv'I2)(32+x_2) {(2a+1)2+' x2} 22a 12a+1/1 \ n ) (2al4-7 - )2+;2'.r__ __ __ _ (-1) ) a- 1/2' A _ 2 ---ax '
'2 (22: +- 2) (42 +t2)... (4a2 + X2) 22a —12a,1 o n (2 - 2 - )2+2
AMultiplions de part et d'autre par f(x) dx et integrons entre les limites b et c de x, alors il
vient:
C f ( ) cx _ ( —) a f2a\ n -l 2 - (2l f,(x) dx,
/ ('+2)( 32+x2)... (2ca-1)2+>-2} 222a+ll '] 1 (2a+1-2)2+2 (,. (248
(fc f(x)c (-1)a a ( 22a f-I( )*-d. [71] (249)
1 2.(22+x2)(42+x2)...(4a2 +x2) 2a-1 12 I n / (2a- n)l -\ n
~b c
C HAP T E Q UAT IE 3E.
REDUCTION DE QUELQUES INTEGRATIONS DOUBLES.
68. Quoique la consideration des integrales doubles n'entre pas en ge6neral dans le but qu'on
se propose ici, il arrive neanmoins souvent, que les transformations de ces fonctions donnent lieu
a des relations, qui peuvent servir dans la theorie des integrales definies ordinaires. Mais par-la
[71] SCHILO-MILCH, Grunert's Archiv, Bd. 7, S. 38.
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