Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

11. 1. II. N~. N65, 66. THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,

pour la valeur zero de x, alors ces equations deviennent beaucoup plus simples en ce que Ia
sommation, correspondant a ces derivees evanouies, disparait elle-meme: et cette supposition se
verifie souvent.
Par exemple soit f(x) e-x2, alors on trouve Partie III, Meth. 6, N~. 8:
J e —x2 2n+1 dx 0, e-x2 x2nr =
0 —0 -0
avec la valeur speciale
e-x2 x ---- I/r.
-00
Pourvu done que cp (x) et a plus forte raison la fonction e-x2 cp (X), soient finies pour toute valeur
de s (entre les limites - - et + cr ), nous pouvons faire usage du theoreme (239). Mais ici
la somniation repondant aux.j-(2n+l) (0) disparait, puisque l'integrale qu'elles contiennent, s'evanouit:
done on a:
'f O.2 0 (2n)(O) n/2 oo q (2n) (O) p\2n
J {(p)e --- dn l 2a-i /^/T 7 2n1..... 1 (242)
o 12iV~1 p2fl-j"/w = I/7r~' V (2o 14ni
00
Supposons encore f (x) - xe-X-, alors on peut employer les memes integrales que ci-dessus pour
n general, avec la valeur particuliere
jeT' xdx == 0.
-0O
Lorsqu'on vent y appliquer le theorerne (239), on observe qu'ici toutes les integrales s'e'vanouissent
sous la sommation qui comprend la derivee pc(2n) (0), et que par consequent cette sommation disparalt de l'equation. Done lorsque les fonctions p (Z), et a plus forte raison la fonction x e-x2q (x),
restent finies pour toutes les valeurs de x entre les limites - oo et + -, la formule (239)
donne:
0 co ) d+_)_(~) l^n2 (s r+(2n+1) (0) p2n+l
1( 1^2ne-+xdx + Sp2n+l -- I/ V r I+/ (- - -+ [69 ]... (243)
— 01l l 2- )
66. Mais en general il n'y a pas lieu de faire distinction entre les valeurs paires et les valeurs
impaires de n. Car soit f(x) - e-x, on trouve Partie II, Meth. 3, N~. 7 l'integrale definie
0
supposons que cp (x) reste continue entre les limites 0 et oo de x, alors il en sera de m6me a
plus forte raison de e-x, (x). La formule (237) nous donne ici:
[69] Voyez sur ces th6oremes DJENGER, Journal von Crelle, Bd. 46, S. 119.
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