Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET IMETHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFIHES. II. III. 3. N0. 649 65.

Donc si l'on vent etre conduit a une serie, qui n'offre pas trop de difficultes dans son.
usage, il importe aupr(s de cette m'thode, que l'inte'grale d6finie sous le signe de sommation
puisse etre dvaluee, de sorte que la somination ne porte que sur des quantites finies. Or, il arrive
souvent que des integrales d'une telle forme aient une valeur connue: nous n'en prendrons que
quelques-unes, qui serviront a des transformations faciles et simples.
65. Applications. Soit f(x) - / /(l - 2), alors on trouve Partie III, Meth. 3, N'. 4 les
deux valeurs de l'intdgrale definie, qu'il faut employer dans le cas de n pair ou impair:
2n+1/2 2
{)t^~ ' ~0O
Tci done il faut distinguer entre ces deux valeurs de n, de sorte que, au lieu de la formule (237)
on a la suivante:
b6 fq()0 b j(",n) (0() (, 0 (24n+1)(0) ( +b
I l'22nt p f(z) wan} ^np d xI -}. (-239)
J f(x). (px) dx =. ( P_ (x) 2 dx- + 0(p2n+1 (x). (239)
a a a
A laide des integrales ddfinies citees, - pourvu que les fonctions p (x) et xn cp (X)'(l —_2) soient finies
entre les limites 0 et 1 de x, - on trouvera maintenant:
f(p x) d / (1 = —2) j= / i)Op2-nt - -- - (-7 2n+l +1 ---
o 12n/ on 1/2 12on+2-1/1 '-'+l
52T co aj2o)) A) (p 2n, q,(2,,-1) (0)
o(n2 + I) {("n/ 2 ) } (2 ( + 3) {3 } (240
Soit encore f (,) = —, alors il faudra employer les integrales definies, evaluees
Partie IIT, Mebth. 3, N0. 4, egalement distinetes pour les valeurs paires et les valeurs impaires de n.
Jl ' 12ndx l n/2 7 1 2+1 2/2
tj 1(i -( 2) 2 122 j / (n -_ 212) 3l2/2'
0 o
Ici done il faut encore prendre la formule (-239), et lon trouve, pourvu que les fonctions cp (v) et
a 'n cp (x.)
restent toujours finies entre les limites 0 et 1 de x:
{/ (I - X2)
I1 (px ) d( _ o (an) (0) 102 nz ( (0) ( 2n.2
] =j/(i- ^^ ^^ -)n --— _jpnl. ---—. 24
j (1'(l:2) o 12n1 2n22 ' O ]2n+1/1 312/2
7 ] Q(2n) (0) (p)2n (21 (
=^1.. {s~(; v+~-p "" *(241)
Lorsque dans une des equations (240) ou (241) la fonction p (x) est de telle nature que toutes
les derivees d'un ordre pair qp(2n) (a), ou toutes celles d'un ordre impair c(2n+-) (X) s'evanouissent
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