Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

II. III. 3. N~. 60. TNEORIE, PROPRIETES, FORIULES DE TRANSFORMATION,
(pn~q~fl~l ~= P '2/ —f. / ~i+pI (I-, x)(I1 dx,
x4+p- i(d]/ - = B (l - )-l, B (p, q) = _pnl( ) o/-l- I,
0 0
comme il resulte de la valeur de l'integrale citee, et comme aussi le comporte la definition de la
fonction Eulerienne B(p,q). La formule (221) nous donne done ici:
rC pn/l
Ic (,) IP-I(1,-) ( q -I)B(p)x(- - )( i-A,. [64]...... (222)
0
Encore trouve-t-on Partie III, Meth. 3, N'. 7:
l e-7 I;n~-t-P — dr = t r (n +) P _ r -- (p)=i e- lZ ro~_,
0
comme definition de la fonction Eulerienne r: done par la formule (221):
1 c pnll
T(c)e-qx p-I d. —1r(p)2- An [65]........... (223)
J qP oqn
Soit encore suivant Partie III, Meth. 33, N~. 7:
1, i-i\ p q1 17I
I - x- +P-1l dx = ---- r(q() r) 1 r(q) -- f- xP-1 dx,
f xl (p ] -t n)+n p _ -t + j 1
0 0
suivant l'integrale citee. Alors nous trouvons par le theoreme (221):
\ -1 C q \C 1 q
If ) (pX)i- 1 1dx = -q P A) A.. n [66].. (22%)).T Pq' ( )1'? )o p + 71) op-Fn
L'dquation (222) donne lieu a un resultat remarquable, lorsqu'on y substitue Si.2 y pour x; car
alors on a dx = 2 Sin.y. Cos. y dy, et 0 et 1:- I r comme limites de y: on trouve done an lieu
de la formule (222):
cp (Sin.2 y) Sin. -2.2 Cos02q-2 y. 2 Sin. Cos. y. c y B (p, q) An
O~~mais comme ~~on de~jh~ suppo (P -h- q/
mais comme on ddja suppose plus haut:
C
(r' (.io) -- BZ X S it. i..S................*. (d)
o
[64] KuMMER, Journal von Crelle, Bd. 12, S. 1.44. - BONCOMPAGNI, Journal von Crelle, Bd. 25,
S. 74.
[65] Fautive chez BONCOMPAGNI, Journal von Crelle, Bd. 25, S. 74.
[66] KuMMER, Journal von Crelle, Bd. 17, S. 210.
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