Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET II ETHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. II. III. 3. No. 59, 60.
J ~ CXb d cc Y b Ib c
f (x). p ()dx- d n f ( x(x, O) dx= f (x). X (,n O) d X yn, 7;.. (220)
O 0O
a a a
oi l'on a suppose de nouveau le developpement (a) de cq (x) dans le Numero 48.
Nous allons donner diverses applications de ce theoreme a l'evaluation des integrales definies
generales oun a leur reduction a des series; mais il convient d'observer auparavant, que ce thlleoreme
C
(220) est tres-utile dans la theorie des suites. En effet lon en deduit la sommation S,n, comme
0
le rapport de deux integrales definies; des-lors chaque serie - car cette sommation n'est autre
chose que le symbole general d'une serie quelconque - subsiste comine un tel rapport de deux
integrales definies: done il importe seulement de trouver aupres de la sommation d'uie serie, une
separation convenable du terme general, de sorte qu'on soit conduit a deux integrales definies, dont
la valeur est connue ou peut etre evaluee ailleurs.
Retournons a la methode en question, et distinguons comme precedemment les divers developpements de c (x;), ou en d'autres mots les diverses formes de (X, ( ).
60. Soit en premier lieu (x, n) de la forme xn, c'est-a-dire
- (8) = Ao + An^,,................ (c)
alors on a pour 1initegrale definie:
f(x).x (x, 0 ) d = f =(x I ]f() ddx
a a a
integrale definie, d'ordinaire beaucoup plus simple que l'autre
f (,). X (x,,) d.
a
Soit encore, suivant notre supposition generale au Numero precedent:
rb Jb
] f(xj n dx Gn f (x) dx....... () e
a a
alors il vient:
rb rb c
/(.,). p (^) dx f () d. z A2...... o (221)
a a
Mfaintenant il y a beaucoup d'integrales, pour lesquelles on peut employer l'equation de reduction
(A): entr'autres et speclalement toutes celles, dont la valeur s'exprime au Inoyen des fonctions
Eulerienncs, et dont le nombre n'est pas petit, comme on le sait. Nous en employerons quelquesunes pour parvenir a diverses
Applications. On trouve Partie III, Meth. 4, N~. 6:
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