Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

II. III. 3. N~. 58, 59. THEORIE, PROPRIETES, FOIRMULES DE TRANSFORMATION,

evaluees Partie III, Meth. 9, No. 19. Quant a l'emploi de ces diverses valeurs, elles donnent lieu
ici exactement a la meme discussion, qui a fait etablir les formules (208) a (215); seulement ici
la valeur des integrales, qui repond a p -= ns, est irreductible a celle qui a lieu pour p > ns ou
p < ns; done on a immediatement:
f x Sin. pxdw 7 c r c
JF PS 2 — - Z -== — D Cos.pq — Cos.pq.Dn Cos. qns -- Cos.pq.2 DnCos. qns, p>cs;. (212)
If q 2-I 2G 2 \1 2 o
r c —I 7r
-- — Cos. pq. Dn Cos. q ns —D Cos. 2pq,p=cs;. (213)
2 o 4
cd c
==- - Cos.pq.2 DnCos.qns -Sinpq..2DnSin. qns,p=dsp', d<c,p'<s;. (214)
2 o d+i
d —1 r 7r
= -- Cos.pq.. DCos. qns — Dd Cos.2pq + - Sin.pq.. Dn Sin. qns,p-=ds, d<c;. (215)
2 o 4 2 d+-1
^ x- Cos. px d cs c (1 c
0 pq E 2 Sin.pq. ' E, Sin. qns Sin.c. ' E Sin. ns21)
J <2-^72 2 1 i 2, o
Tr c-l 7r
- Sin.pq..~En Sin. qns — -EcCos 2pq,p =cs;. (217)
2 o 4
7r d 7r c
- Sin.pq. E,, Sin. qns -- Cos.pq. 2 E, Cos. qns,p= ds + p', d<c,p' < s;. (218)
2 o 2 d+l
7r d —1 7 r- c
- Sin.pq. Z E, Sin. qns-. - Ed Co s.p os.pq.. En Cos. qns, p ds, d < c. (219)
2 o 4 2 d+l
Quant aux reductions dans ces formules (208) a (219), on a admis dans les equations (208) et
(212) le terme solitaire sous la sommation, qui commence par cons6quent par la valeur zero de
n; pour la symetrie, on a commence de meme les sommations dans (210) et (216) par n = 0,
le terme ajoute 6tant nul.
59. A la fin du Numero 48 on a distingu6 trois cas d'application du theoreme general,
et dans les Num6ros suivants 49 a 57 on a traite du premier de ces cas. Passons maintenant
b
au second, c'est-a-dire au cas ou l'int6grale geerale Jf/(). x (x, n) dx, qui se trouve sous la
a
sommation dans e'6quation (156), se laisse reduire de quelque maniere generale a l'autre int'grale
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speciale, d'ordinaire plus simple, f(x). (x, O) dx. Quand on suppose alors:
a
f( ). (x,n) dx- rn (x). Z (x, o) d.............()
a a
oei Yn est quelque fonction dependante de n et independante de x, cette formule (156) devient:
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