Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

TI. III. 5. No. 58. THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,
Mais encore la consideration au commencement du Numero 56 vaut egalement ici: on peut prendre
dans chacune des formules (180) et (181)
q Sin. p X q Cos. p x x Sin. p x x Cos. p x
- -1 sPt - -et
q2 -2'X q2 -x q2 _x2 q2 -x2
pour la valeur de f(x): cependant de ces huit suppositions il en y a quatre qui donnent des
resultats assez simples, tandis que les quatre autres donnent des sommations, contenant deux fonctions
Ci. (n q s) et cleux autres Si. (n q s): elles deviennent done assez compliquees, et comme leur deduction n'est pas plus difficile que les formules prece'dentes de ce Numero et qu'elles ne donnent pas
lieu a des considerations particulieres, nous nous contenterons ici des quatre premieres substitutions.
q os. p x q Sin. px
Commencons par supposer - 2 et 2 2 respectivement comme les valeurs de f/() dans ies
deux tlheoremes (180) et (181); alors les integrales defiilies
Cos. P x. Cos. nsx X
f -------- -d Sin. p q. Cos. q n s, pour p > n s,
f 9' --- xa '2
2
-- Cos.p. Sin. q n s, pour p < n 8,
-Sin.2 pq p, pour p _ ns,
4
[ q Sin. P x. Sin. n2 sx
d -- - Cos. p q. Sin. q n s, pour p >n s,
f q- "'
-.- Sin. pq. Cos. q n s, pour p < n s,
7r.- - Sin. 2 pq, pour p -= ns,
4
evaluees Partie III, iMeth. 9, N~. 19 doiventre e mployees.
On s'aper9oit tout de suite qu'en consequence des valeurs differentes de ces integrales il
faut prendre garde aux valeurs que peut acquerir la difference p- ns, selon qu'elle est positive,
negative ou nulle; mais en meme temps on voit que ce dernier cas, ou p est egal a ns, peut se
deduire des deux valeurs precedentes, ou p est plus grand ou plus petit que ns. Des-lors il faut
distingguer quatre cas aupres des sommations. Premierement soit la dif-erence p -ns toujours positive:
ela aura lieu lorsque p est plus grand que cs; dans ce cas il ne faut employer que les premieres
valeurs des integrales definies citees. En second lieu soit la moindre valeur de p - s zero: c'est-adire, soit p e'gal a cs; alors il faut egalement employer ces memes valeurs. Enfin p peut avoir une
telle valeur que la difference p- ns est tantot positive, tantot negative: alors il faut faire usage
tantot de la premiere, tantot de la seconde valeur des integrales citees; pour en decider, supposons que le plus grand multiple de s, contenu dans p, soit ds, d'ou il suit que d doit etre
plus petit que c; alors il pent encore y avoir ou non un reste p', toujours plus petit que s.
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