Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

IL Ill. 5. N'~. 57, 58,

THEORIE, PROPRIETES, FORIIHLES DE TRANSFORMATION,

Encore quelques observations sur les reductions, que lon a faites ici an les equations (193)9
(194) et (198) on a adinis tout de suite le terme isole' sons les signes de sommation, parce qu'il
pouvait y entrer pour la valeur zero de it; donec ces sommations commencent 'a la valeur zero
de n. Pans les 6quations (195) et (201) on a transform6' la somnmation de d + 1 'a c dans la
diff6rence de denx autres, quii vont de 0 'a e et de 0 'a d respectivement; en outre dans la formule
(195) 011 a consider6' le premier tertne separe comme la valeur dui terme 'a sommer, correspondant
a la valenr zero de n2. Ii en- est de mdtme dans la form-ale (1-96), tandis que danls les formules
(201) et (202) les sommations de 1 'a d on de 1 ~ d- I. sont 4tendues "'a la valeur zero de
n1, puisque alors' le terme 'a sommer s'6vanouit et par suite n ltr pas Ia valeur originaTe des soinmations. Pans les 6quations (1 90) et. (202,) la sommation de 1 'a d - 1 est divise'e en trois parties,
suivant 1e'quation identique
c c d-lI
2 z P~ = 2 Pn -2' Pn, - Pd.
d+I 0 0
Mais on observe que plusicurs des fonctions somme'es contiennent des terroes, qni ne different
que par le signe de n; dans ces formules, c'est-'a-dire (193), (191), (196), on peut done simplifier
I'expression finale par 1'observation, que V'on a identiquement, pourvu que f (n) =f. n):
25 {1n+f( ) =2f7n q f(n) 21 (n);
1 1 ~~~ ~~~~-h -A
nune fois, dans 1'6quation un terme de'tach6' venait se joindre de iui-memie 'a cette forme. En d'antres
cas, comme dans les 6quations (197), (199.), (200), u-ne difficulte' s'opposait 'a cette notation, les
ternies Oftant lie's par le signe -: ne'anmoins on a pn se servir encore I1' de cette transformation,
sauf d'ajouter sons le signeo de sommnation nn facteur,quni done est positif on n6gatif avec
+V l
le signe, de v. 11 va, sans dire que dans ces sommations, comme dans celles qui y correspodn
dans les formnules (187) a' (192), les indices de Dn et de E,, ne peuvent devenir negatifs, on en
d'autres mots que D.n et E, ne sont antre chose- que PDn et E,, respectivement.
Ce qui a C'te observe' dans ces deux derniers Numeros pent servir de guide dans des discussions analogues; dans les me'thodes oilt il s'agit de sommations, ii fant tonjours avoir 6gard an ebanIgement, qui pent s'ope'rer dans la valeur des int'grales de'finies, employees en suite de certaines
valeurs de l'argnnment n de sommation [6-3].
58. En vertn de ec:5 observations on peut eftre plus bref dans I'application qni resnlte des
formules (1890) et (181): dile ne difle're de celle, qn'on a Atudi&e dans les Numfleros 55 'a 57, que
par Ia formne dui de'nominateur, qui an lieu de q2 + x 2 scra ici q- - x2
q x
Pour la supposition de f (x) q -x et de fix) 2 ~2respectivement dans ces deux
[63] Ii y a queiqucs th'ore'ines de cc genre chez BoI~coAPAkGNI, Journal von Crelle, Bd. 25, S. 74,
wnais uls sent fzvitifs. - Voyez mon Mk~rnoire, V[cmli. der Ke n. Akad. van Wletensch. Peel 5,
Pa~ye 1 51.