Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

II. III. 3. N~. 55, 56. TIIEORIE, PROPR1ETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,

La formule (184) nous aide pen: on en peut trouver pourtant une autre plus utile, qui lui correspond. En effet soit une fonction
c,
cp (5) = D + D'n Cos. 21 ',............... ()
1
telle, que le premier terme D0 en est egal au premier terme da developpement de,4 (X.) dans les
formules (e): alors on a:
c C'
rcp (x) - cp'5 (x) = 2 D, Cos. n s x - D'n Cos. n s' x.
1 1
Lorsque a present on emploie cette formule, la cause qui donnait un resultat infini, c'est-h-dire
le terme isole Do, n'existe plus; des-lors on trouve:
of 5 (00 x) -dv 1 c
J {(5 (>- 5 ( )} +' = —, Dn enqsEi. ( s) e(n qs)+ +
o
I c'
+ -. (D'n {enqs'Ei. ( —nqs') + e-nqs'Ei (nqsl)}..... (186)
2 1
56. La consideration de la maniere, dont les integrations s'effectuent ici, nous fait voir que
dans les valeurs supposees a f(x) on aurait pi admettre aussi un facteur Sin.p x ou Cos.px, et
a Sin. p x
qu'alors les formules obtenues seraient du mmee genre que les prce'dentes. Soient donc
q2 + x 2
q Cos. px
et - successivement les valeurs de f(x) dans les theorenes (180) et (181), et soient a et b
q2 + _ 2
de nouveau 0 et o. Les integrales a employer ici se trouvent evaluees Partie IlT, AMeth. 9,
N~. 18 et 17:
o
'q it. px. Cos.nsxdx I
2" -~- - = -,11 e - (p +-s) q i. {q (p + n s)} - e(P q E i. { -q (p + 2 S)} +
4
-jrg ffie-(ur-ns) q Ei. { q (p -e(P-nsv Ei. t- q (p-S nS)}
- e-Pq [ens Ei. (q (p - s)} + e -isq Ei, {q (p + n s)j -
- -ePv [e Ei. q --- (p ) + e-sq Ei {-q (p - n s)};
JS+S~nsxd pq epq(esq e -nsq), pour n e < p,
]j q4- 2 x2
0
-(ePq - e-Pq) e-nsq, pour n s > p,
4
7r
(1. ( e-2-pq), pour n s p;
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