Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET IEtTHODES D'VALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. II. IIl. 3. N0. 55.
Pour l'application de ces theorlmes, il faut que les valeurs des integrales
b b b
f (x) dx, f('. Cos. n s x dx, f(. Sin. n s x dx
aa a
soient connues: or, c'est ce qui arrive dans un grand nombre de cas: done nous pouvons Ious
attendre ici a plusieurs
Applications. Soit en premier lieu /(x) = ---4 et f(x-) -- dans les deux theore( +x'2) q'2+x2
mes respectivement, et soient 0 et xo les valeurs de a et de b; alors on trouve Partie III, Meth.
1, N. 3 et Me'th. 18, N~. 8 les integraes s dfinies, dont il faut faire usage ici:
F q dx C fqCos. nsxdx Tn p x Sin. nsxdx f
_ICA -.. _ = *_ ____ _ e —nqs f ____,.. s.
| q+ 2 2'J 2 q+x2 ~2 q2 + x 2-7 s;
0 0 0
done les theoremes (180) et (181) deviennerit par cette supposition:
00 q dx w 9r c c
(j (x)= -D) = 2 + - D,e-t nqs - -...... (18 2)
( 2j 2 2 9 9 o
0
rf'30 x d.v,, c
(x) q - t2,=. E.. (183)'
+o 2
oh dans la formule (182) nous avons admis Ie terme - sous la sommation, qui done doit
2
commencer par la valeur zero de n.
Soit en second lieu inversement f(x) --- 2 et f (x = - dans les deux theoq~ -+ x'2 2 4+ xI2
remes (180) et (181), avec les nmemes valeurs 0 et oo pour a et-b; alors il faut chercher les
integrales definies, dont nous avons besoin ici, Partie III, Methp 1, N0. 8 et Meith. 18, NO. 9:
00 xd [c x Cos. nsxdx 1
q 2 X c —xo2 s + 2 2 - -i, nqs)+e-nqsEi.(nqs)},
o2 o
o q Sin. n s x dx_ 1
et l'on trouve par les theoremes cites:
(')l t. *.* *. *.. * * * (184)
0o
J q dx 1 c
P(, (x) - = -, {e-s Ei. (nqs) -e Ei. (- qs)}.. (185)
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