Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

11. III. N. N.55-55. THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,

des integrales reduites dans chaque theoreme, il faut prendre la peine d'y substituer Cn au lieu de B,.
54. Soit dans les integrales (170) et (171) e-px la forme de f(.), et soient 0 et cc les
valeurs des limites a et b; alors, puisque suivant Partie III, Metl. 3, N5. 9:
00 12a/I
erpx Si. 2axdx ==
1e-pJn'Sxx 1. (2 +p2) (42 +p2)...(4a2 + p)
o

I

30
e-Px Sin.2a+1 X dx ==

12a+tll

(12 + p)(3 +p2)... {( a 1)2 +p}'

et qu'encore suivant Partie 1II, Meth. 1, N~. 9:
00
e-Px dx
o'

1
p

on trouve:
jO 1 c 12n7/1
I,1 (-). ePx d=Bo -+B2n - 2-^ 2
J~ ()'e-pxd=~p 1 p(2 +p2) (4 +p)..n2 +p2)
0

1 r c + 2nll 2 +
P- B0 + B2 (2 + 2)(42+P2)..(4n2+ 2) '.. (178)
c 12n-11I
1 (12 p2) (12 + p2). {(2.. (179)

2 (x). e-Px d=_
o

Puisque la valeur de l'integrale
[ e-PX Cos.a x (lv
0
implique des sommations, on obtiendrait en 'employant dans les theoremes (172) et (173) des
sommations doubles, qu'il ne serait pas b propos de calculer ici.
55. Lorsqu'on suppose que la fonction x (x, n) soit de la forme Cos.nsx, ou Sin. n sx, c'est
a dire quand on a:

c
p5 (x)= =D + 'D,,, Cos.nsx
1

c
qp (x) = X.En Sin. n s.. n. (?)
1

et que ces series restent convergentes entre les limites a et b de x, alors on a au moyen du
theoreme general (156):
fb rb c rb
().rp (x) dx= DO f()dx + Dn f( x).Cos. s x d,... (180)
a a a
a a a

Ib
() T 6 (fx) dxZ _

2E f f(x).Sin.ns dx........... (181)
a

[62] SCHL6MILCH, Grunert's Archiv, Bd. 7, S. 38.
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