Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

II. III. 5. N~. 52, 55. THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,

^p-\ - xq-1
52. Enfin supposonsf( )) --, alors on trouve Partie III, IMeth. 10, N). 5:
Ix
Jdie I q.t~~ ~ - qI l flIp-t-n —l. Xq+n-l - 4 -1
1. --- — x dx == i -, donIe |- ------ Xn d -____ — dx - I
j Ix q.x [x q-j- n
/ o 0
Ici le th6orbrme (158) donne pour les limites a = 0, b=- 1:
( ) d ---x =A lA-+2:Al~ +.- [61]....... (169)
1x q \ + 72
0o
53. Retournons au Numn'ro 49, et supposons a present X (, n) = —Sit.nx ou X (x, 2)
Cos.21. Puisque en general les integrales definies, dont il faut faire usage, ont des valeurs difflrentes selon que les puissances des Sinus ou Cosinus sont paires ou impaires, il convient de les
distinguer d'avance. Ainsi soient:
01] (>O)-B+ B2BnSi ln.2fn, et q3(, ()=C o + Cs C os.2 8.2
C 1
c c
ou,P2 (x) 2= - B2n-I S in.2n-1, ou q,, (x) -- C2n-1 COS.2n-1 x;
1 1 *
ou l'on suppose toutes ces series convergentes entre les limites a et b de x: des-lors le theoreme
general (156) devient ici successivement:
Jf(4v) 1 ()I) d()B2n f) dx + Bn (X) Si.2n xdx... (170)
a a a
ab c
J f(x).cp, (dx),^B f(x)SbB.2n-n I X.V.,....... (171)
a a
f (x). 3 (x) dx Co f() dx+ C2+ n (x) Cos.2 x d,....... (172)
a a a
Jf ()., (x) d = 22n-1 f () Cos.- dx......... (17 3)
a a
Ces theoremes peuvent nous servir, aussitot que les integrales sous les signes de sommation solnt
connues: dans le cas des formules (170) et (172) il faut encore connaitre les valeurs des integrales
hors de ce signe.
Applications. On trouve Partie III, Meth. 3, N0. 5, les integrales d6finies:
[61] KUMMEaR, Journal von Crelle, Bd. 20, S. 210.
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