Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET ITETHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. II. 1II. 3. N0. 50, 51.
0
I r(p) x- ICos. +p - )d= (: -l)nAnp2/l..... - n p. (163)
Lorsque au contraire on multiplie ces deux equations par Sin. pn et Cos. pn respectivement et
qu'on en prend la difference, on elimine tant la sommation par rapport a A2n qu'en meme temps
le terme A o; il vient alors:
cp () xP-I Sin. ( pr w-x ) dx F (p) (-1) An- 1 p2n-11.,... (164)
2~~~~ P~~~~1
0
51. Pour f () - e-Yqx p-1 Cos. x et f (x) = e-q xP-1 Sin. r, la Met1. 18, N. 3, P. II. donne
(qo p- dxr T(p) Cos. p P. Fr (p)Sin. p -
e-qx x- -1 Cos. x dx e-qx p — Sin. x dx = --—, oui = Arccot. q;
0o
done de meme:
e r. dx r(p+n)Cos. {(p+n)Z} f _. 2)) r(p+n)Sin.{(p+n).(}
e-qc pPt-1 Cos.x dx = (l + q2)(p+n) J e-Qxpt-n-l S-n. -zl {( p)
08. ~ - (1 + q2)Pi(pif) j (1 f.. q2)i0KPn)
0 0
Ici il n'y a plus de distirition a faire entre les cas de n pair et de n impair; aussi l'on peut tout
de suite employer la formule (158); done, puisque r (p + n) - pn/l r (p) [60]:
if r (rp) Cos p I r (p) pn/, Cos. {(p + n) _}
F (?>) {P,,/ Cos. f (p + n) }}
() (.) e- rp-1 Cosn. x dx Ao (1 + q )AP + A (1 + 2 ) (P+
(I +~ q2)1 1 _ (p)-(" -n)
0
r (p). pn/l Sinl. {(p +t n) 1}
( p d A +tT 2iPA +n PA (1Y A n ) (16()+
Multiplions ces equations respectivernent par Cos. p 2k et Sin. p X, et sommons les resultats, alors
2 ~) 2
| (x) e-q 1 ^ Cos.(p —p ^ O )d. {Ad + rA ()A4 2A..{.. (167)
0p.~~~~ (1 4 -q2u)4I t 1 i + 92)l
D oe meme multiplions-les respectivement par Sin. p X et Cos.p a, la difference de resultats lous dolnne:
() e-qx P-' Sin(x - p ) d (1 + P 1 (1 +.q..... (168)
0
[60] BONCOMPAGNI, Journal von Crelle, Bd. 25, S. 74.
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