Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

III. 3I. No. 48. THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,
~ 3. TIIEOnEMES CGNERAUX.
48. Commne c'est notre but de parcourir autant que possible toutes les methodes de reduction, employees dans la theorie des integrales definies, il n'est pas inutile de prendre ici une autre
voie dans la discussion, et d'envisager cette partie d'un point de vue plus general; on verra dans
le cours de l'exposition que plusieurs des raisonnements precedents s'y rattachent, ou en decoulent
facilement, quand on les prend de ce cote-lh: ndanmoius il valait mieux les laisser a la place
qu'ils occupent, ain de mieux faire ressortir la diversite des methodes.
Ici nous regarderons les fonctions integrees comme un produit de deux facteurs, dont l'un
reste constamment arbitraire, tandis que nous supposons a 'autre divers developpements: ainsi lon
reduit des classes entieres d'integrales compliquees a des sommes d'integrales plus simples, et en
dernier lieu enfin a des series ordinaires ou a des series doubles. Cette maniere de voir se trouve
exprimee dans la formule
b c b
f()g(I f )n /()%( n)dl....... 5 (156)
~J o I ^.
ca a
C
quand c (x) -= cln, n);.................. (a)
o
mais cette reduction est sournise a quelques conditions necessaires.
En premier lieu, quant au developpement de cp (x, c peut etre un nombre fini, ou bien inifini;
dans le premier cas c'est une se'rie finie que nous avons a considerer, dans l'autre c'est une serie
infinie. TLorsqu'elle est infinie, il faut qu'elle soit convertgente pour toutes les valours de x, situees
entre les limites a et b de x, puisque autrement il ne serait pas permis d'en faire usage dans
l'interation entroe ces limites. En second lieu, dans le cas de c infini, l'existence de lequation (156)
exige, que la serie des teirmes aprles les integrations soit encore convergente: autrement Pon ne pourrait
considerer une sornme de ces termes comme la valeur de la premiere integrale. Lorsque au contraire c
est un nombre fini, il 1'est pas necessaire ici, nii dans le developpement suppose, de faire attention a
la convergence, puisque alors les deux series sont finies. On a vu que la serie representante de ep (x)
devait converger entre les limites a et b de x: pour ces limites elles-memes la convergence n'est pas
toujours necessaire; en effet il pcut tres-bien arriver, que dans un tel cas lintegrale a sommer
J/ (x). (x, n) dxr, acquieire pourtant une valeur finie determinee.
L'equation (156), comnie tlieoreme general, donne lien a plusieurs thdoremes speciaux, ou,b
il faut distinglur trois cas, cqui peuvent se preseinter: ou l'integrale j '(x). (v, n) dx est immindiatement connue, ou elle est redductible a F'autre plus simple f(). ( Z, 0) d.v; ou enfin le devea
loppement de cp (x) peut se faire d'apres le theoreme de MACLA.JURIN.
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