Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. II. III. 2. NY. 47.
Q 21 jk-2.k — O I
m( (0) +1 (O)+ 12f (0) +... - f3-)/ - ( ) + k f) ) + _i fk+I) (o )
k-2 Xn k-i FJ;k
= - (n+i)(o) f+ _ik) (OX)+" f.k+)o(X).
o In/1 I
1
Car alors on peut multiplier cette formule de part et d'autre par -/f(n+l) (0),.y changer a
en n, sommer les resultats de n = 0 jusques a n =- k- 2; et puisque (n -t 1) ln/1 = -1+1/1, il
viendra:
f2bT7 k-2 xn dr (T kE-2 t2 +rrJ li -n+ l
J(l-2p Cos. x+p) dx - (n+)(+) =-2 ( n+) ()
o 1~/1 J e-p,. o, l+/l
() 0fo
k-2(2bpr-Xi)n+l Jk-2(267T)n+l k-2(i)n+1 k(-2(- )l +1 1
+ p (n ^ (O)- 1 ( n + 1) (0) -+/( (0) - '5 -f n+i
+ Z /(n+i)(0) -22 f'- +)J(~), f 1)(0)
ou par la serie citee de oM1ACLAURIN:
l(1 —2 p Cs. x+p2) dxf' (x)- i(1-2p Cos. x+p2) dx l l if(kO)(ox)+ ll i) (O
'o 0o
f/w, dZx '2b oftlr3.X~r 1f l+;\~ -t-~Lf ~k') r~/sI~,!xkk-( br)n+l- 1
-p 1f, (ib+.i)- (2brx))(2b^-)-f,(2bj7f)(O2bx i J ---- (n+Ix)(0)- (xi)+f()-f (-)+f
ex-p 2 o d+ 1/
2 f(b)_f() 2(O_ 1 2' J(+l) 0) ) l(i-p)+p e [f ( 2b + xi) +f(2 b —xi)-f(a i)f- - ( —xi)] -
~ Jj7 0XrII(2bw+ xil klft )({bO( + xi)0 + -- ),(2b+a - i)kx)
-- ((i)kf(k) (O i)(- ( i)k (k) (_ - O i)];.. - (155)
px dx
ex — p p
Sous cette forme l'equation (155) est exactement vraie; neanmoins elle ne pourra servir que lorsque
les integrales, qui contiennent k, s'evanouissent avec une valeur infiloie de k [57].
[57] HIOPPE, Journlal von Crelle, Bd. 40, S. 139, ou pourtant la de'dnction n'est ni complete, in
rigonreuse.

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