Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET M1ETIIODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DtFINIES.

II. 1HI. 2. N'.. 45*, 46.

F 1 ( 1\2 dx c/ f 1\ 21 dx
1= I /(aW 1f t d, done 21I I + <IV21 T1-)i (
\ x} t;8
0o o s
1 / 1\ ~a+l(a +n)22-1 / 12n
Mais on a: X2a+1+ X2a+ -+- -1 X — [55];
X^a+i \ ^ o 1 2n/I
done par la substitution de cette serie:
f } f {( l) fjZ( +Z) ~ 2 tn)/l (i)2
a+1 (a+ 7n)2n/d-2 I
o- f 1\12n1 2 2 l\ (.
~~~~0 0
o 12n, ^ i 2 x X A;v
Quoique a present la reduction nous ait fourni une integrale plus compliquee, il nous sera facile
1 ( 1\ / I\ dx
de la simplifier. Car si nous y supposons x — = y, nous trouvons 1+ - ) dx -- 1- -== d#,
et alors les limites de y seront - o et + c0. Or, comme dy ne s'annule pour aucune valeur
de x, il n'y a pas de maximum pour y, et nous pouvons sans crainte faire usage de cette substitution dans l'integrale, qui entre au dernier membre de l'equation precedente; elle devient des-lors
f (y2 ) 2n dy.
— 00
Mais on peut diviser la distance des limites en deux autres de - co ' 0 et de 0 a oc lorsque
dans la preimiere de ces integrales (aux limites - co et 0) on prend y ne'gatif, elle devient egale
a la seconde, de sorte que l'integrale depuis - oo jusques 4 + co est double de celle-ci. Done
on a en fin:
x2af (il-1) dx f (2 ~ 2 ) 22d d. [56].. (152)
oI0 0 n
46. Lorsque nous traitons l'equation (1.05), qui peut se'crire ainsi:
Px + f+ pq) —
j~i,+ \ a-1 I/ x / p I.// x
t/~ -- t/p, '
O 0
par la methode, employee au Numenro 44, la differentiation par rapport a q, a fois repetee, nous
donne:
[55] CAUCIIY, Cours d'Analyse, Note 8, p. 551, Form. (9).
[56] CAUCHY, Exereices de Mathematique, 1826, p. 54.
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WIS- EN NATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL VJII.