Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

II. III. 2. N~. 45, 454. THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,

1 dddx ax 2 ____
Faisons dans la derniere integrale x -, done dx -- '.. y 1 + - y2 -y y 12 1 q y' I
avec 1 et 0 pour les limites de y: renversons ces limites pour obtenir les memes que dans
l'integrale precedente, alors on pourra les reunir sous un m6me signe d'integration, c'est->-dire:
f {2af( 2 O )d (x 2a y + )fl d+ x (X~a + 12a-) f(i l) j.'
o0 0 0
1 2 an + 1 -al (a + 92)22/-1 / \ 2n+I
Mais on a x2a+1 + -q (-1)1 l x-f-) [53], done:
Soit a present 1 2 y, done +a - _-, ( -) 2 dx =, Y = [-, done
/1- 2__ dx 1 (-1+ 1-)n 2 1 2 1
2,l~a 12n+1/1
+ x g 1 — ) X 2
Soit present -- done - - - -— + --- —- lr s 2 x I y do-,
2 I -X2 2 dx I I + X2 I- -=dX' 1. 9,- 1 dy
-y ( -i, n done -dy -- -d
\ -i-2 1 x 2 1- x a 2 y / /(ly2) y/ ( y -/2)
Quant aux limites, il faut d'abord nous assurer s'il y a peut-etre un maximum on un minimum
pour y entre les limites de x. Parce que pour dy 0=, on a 1 — 2 = 0, il y a deux telles valeurs de y, correspondant aux valeurs + 1 et — 1 de x; mais comme ces deux valeurs ne tombent pas entre les limites 0 et 1 de x, on n'a pas a y faire attention ici. Aux valeurs limites
0 et 1 de x correspondent les valeurs 0 et 1 de y; done:
( ^af[ ---- dx -—.- - _- -)- -- ' (- }nf(X) - -
X, l (l)a 12z+l/ / (1 __- 2)
o O
2o~ a+l+ (a-n)2n-l f+ d
(-(_ )a (-) 12n -1/1 + x2n+2/(l- [
45*. Dans!'integrale
I = jo ~2af (x - )\ Idx
0
1 — dy
faisons x -, done dx- =, avec x et 0 pour les limites de y; alors on a aussi:
y y 2
[53] CAUCHY, Cours d'Analyse. le Partie. Paris. DEBURE, 1821. (XVI et 576 p. 8".) Note 8, p. 551,
l'indique comme resultante de la formule (12), page 235.
[54] SCHLMILCH, Beitrage, Abth. 3, ~ 14.
Page 136.