Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

I. II. 1.N~. 45, 44. THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,

Par consequent dans la premiere de nos equations l'integrale a une valeur constante depuis n= 1
a n = a, et dans la seconde seulement pour n> a; hors de ces limites elle est nulle; done la
premiere sommation doit aller de n - 1 a n a, la seconde de n - a a n = c, et l'on a:
f(p e +i) + - f(pe-xi) Sin,.a a x dx r.r a r a
~~~J 2.~ - ~~2A~-p 28f — 2iA A nPI, 2 o(14)
Soi n21 2 -2
f (pex)-f(pe-xi)Cos a A [50]........... 4 )
An 2% - 2. a.(144)
0
Lorsqu'on met a-1 au lieu de a, il viendra sous la sommation de la premiere equation un terme
de moins, et sous celle de la seconde au contraire un terme de plus. La difference des deux resultats, correspondant a a et a- 1, donne done:
rf(P ex) +f (Pe-xi) Sin.a x- Sin. {(a 1)x} A _ n
I ~ 2 $~ -d ~ 2Aap,.?o,, * * *. o. (45)
o
f (p ei) -f (pe-xi) Cos. {(a- 1)} - Cos adx 7
c i x - Aa7 A...........(146)
2i a 2.
0
44. Quand on veut diff6rentier une integrale definie
0
a fois par rapport a p, il faut ecrire q au lieu de p2; de sorte qu'on obtient:
r (- )a laa/i da 1 0{ (a _z)2n/1 I d(a-n). (p/ q)
J ()' (q ac2)a+l dqa 2(a o l 2n/2 (t/q)a+n {d(l/q)}a —1]
0
ou en remettant pour q sa valeur p2:
dx (- 1)a 1 1 o n (a- n)2n/l 1 d(a-n). (p (p)
J (q2 +t,2)a+lr la/i 2apa o 9 22.ll/ pnl dpa-n
0
1 co (a - n)2nl d(a-n). (p(p)
la/l (-_ 2p)a 0 In/1 (- p)n dpa-n
Lorsqu'on veut appliquer cette methode a l'integrale
f00 p dx
f(.) -+ x = 2 (p),
0
[50] SAA.SEN, Journal von Crelle, Bd. 42, S. 222.
[51] SCHLOMILCII, Handbuch der Differenzial- und Integralreclhnung. Th. 1. Differenzialreclinung Greifswald. OTTE. 1847. (327. S. 8~.) S. 92.
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