Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'IVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. II. III. 1. N~. 42, 43.

Enfin la somme et la difference des integrales (137) et (138) donnent, parce que
e7x - e.-x i 2 --- (eX ~- e- Rx):
f - f(-i) ei '+e dx= -f(O)- 1 + ( — } =-(n)=-f(O)- f(2in),.(141)
f <2i e~MX ( e —T x ] 1
~ f ( -i) -f(- xi) erFx —e —lX O 0
o
J.dx. —{(- - 1)n —.l}J(n)= - 2.2f(2 n- ]) (142)
f oe 2r x.] e-~r7X x
Toutes les equations de ce numero peuvent aussi servir inversement a la sommation des suites,
selon que les termes procedent suivant les nombres entiers ou qu'ils ont seulement les nombres
pairs ou les nombres impairs pour indices, et encore selon que ces termes so'nt tous positifs ou
qu'alternativement ils sont n6gatifs. [49]
43. Soient les integrales
f f (p exi) + f (p e —xi) Sin. a x dx f f (p exi) -f(p e-x) Cos. a x dx
Jo Jo 2 a $ '
oh f(x) est supposee developpable suivant les puissances de x, c'est-a-dire f(x) = A + -A-An,
coinme au Numero 7; des-lors on peut y substituer les valeurs trouvees dans ce numero pour les
premiers facteurs sous le signe d'integration:
fCf(p exi) - f (p e-xi) Sin. a dx f c o ) Sin. a x dx
~~~| t/-/ —r --- —~A o ' ' - Anp P Cos.nx - =
0 0
[%Sin. a dx c xCos. n x. Sin. a x dx
r f (pexi) — f (pe-xi) Cos. ax dx dx C Si. n Cos. ax dx. — An pn Sin. nx -- = np,
J!f(Pexi 2i x P In —j =iA 'pj
o o
Mais on trouve Partie III, Maeth. 2], N~. 3 lintegrale definie
Sin.a x dx 1
I -= 2
0
et Partie III, Meth. 9, N~. 16 lPautre
$j -x. dx, pour q<r,
0, pour q> r.
[49] SCHLM5ILCH, G1unert's Archiv, Bd. 12, S. 130. -Le meme, Journal von Crelle, Bd. 42, S. 125,
Page 133.