Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

II. III. 1. N~. 42. THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,
Mais on a, en prenant l'infini pour c:
nSin.pn rte( —P'x-e'P- r). o XCos.pn 1 e(rP)+e(P-7),w>'p~~>O; +9n re(~r-p)x —e(p-~)x
- =-,>p>0;_...-,7T>p>0. [481
1 t2+-ze2 2 i C.-e-;-x n L ' in12I x 2x 2 e x e — e:x
La premiere de ces formules de reduction pent etre employee, sans transformation, dans notre
premiere dquation: il n'en est pas de meme quant a la seconde: pour transformer notre equation,
nous pourrons y ajouter membre a membre l'equation
/(~) =- [/() -f(- x i)] d —
0
qui se deduit de la formule (22), lorsqu'on y suppose q egal a zero; alors elle admet l'application
immediate de la seconde formule de reduction. Appliquons-les: present, et divisons de part et
d'autre par r, alors nous aurons:
f/(x i) f( — x i) e(*-P')x- - P-7r)x 00o
) 2f f --— ) eP) =dX f f(n) Sin.pn, < p <;........ (135)
~ 2 enrx _- -~-Tx 1
f "(x i) -f(- xi) e -7r-p)x + e(P-or)x 1. (1
|2i - - ^-r _. —ds =- /( 0)- / f (n) Cos p n, 0 < p r.. (136)
o
J2i e7- x - e-7rx 2 -Faisons dans la formule (136) p = 0 et p = n, ce qui n'est pas permis dans la precedente;
tandis que nous pouvons prendre dans 'une et dans l'autre p = r, done:
f(xi)- f(- x i) e + e-x 1 1
ff(xi)-f(-xi) e'2x __e-7
d --— (O)- (n)Cos. 0 ( 2)-f(, * * (137;
0
J 2, z e z e- 7r^ —2-/ (~) --- -f ( n) Cos. n -r — f (0)- (-l)rf (n)(I) (138)
f f( i)2 (- i) e-X e- i 1 2
o1 o
= —f()- f(n) Cos. - nTrc (-1f)- l( ( n).n...) (139)
221 2 1
j 2 w_ - e-7Xx J 2 ei7X + 6e217T
Oe O
-'0 3 1 00.f(f n)Sin.- n = -- ( (- -lf( (2-~ 1)......... (140)
[48] SCHLOMIL1CH, Neue Methode zur Summirung endlicher und unendlicher Reihen. Greifswald. Kocm,
1849. (37 S. 8".) S. 16, 17. - Le menme, Grunerts Archiv, Bd. 1., S. 130.
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